Número áureo

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El número áureo, también denominado “número de oro”, “número dorado”, “sección áurea”, “razón áurea”, “razón dorada”, “media áurea”, “proporción áurea”, “divina proporción”, representado por la letra griega Φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:

$\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618033988\,749\,894\,848\,204\, 586\,834\,365\,638\,117\,720\,309\,179\,805\, ...$

Sección áurea obtenida en una espiral logarítmica.

Se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre partes de un cuerpo o entre cuerpos, que encontramos en la naturaleza en la morfología de diversos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, proporciones humanas, etc.

Los pitagóricos, que definían los números como expresiones de proporciones (y no como unidades, tal y como hoy es común), creían que la realidad es numérica y que esta proporción expresaba una verdad fundamental acerca de la existencia. Fueron estas cualidades las que más tarde (en el Renacimiento) le atribuyeron el adjetivo de divina o de oro.

Tabla de contenidos

1 Historia del número áureo
2 La sección áurea en la naturaleza
3 La sección áurea en el arte
- 3.1 El número áureo en la música
- 3.2 La sección áurea en el pentáculo
4 Qué es y de dónde proviene el número áureo
- 4.1 El rectángulo áureo de Euclides
5 Propiedades
6 Enlaces externos

[editar] Historia del número áureo

La proporción áurea o número de oro se estudió desde la antigüedad, ya que aparece regularmente en geometría. Se conoce ya de su existencia en los pentágonos regulares y pentáculos de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 a. C.

En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos, tanto en su planta como en sus fachadas. En el Partenón, Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas. (la denominación Fi la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en su honor).

El Partenón, mostrando los rectángulos áureos usados posiblemente en su construcción.

Platón (circa 428-347 a. C.), consideró la sección áurea como la mejor de todas las relaciones matemáticas y la llave a la física del cosmos.

La sección áurea se usó mucho en el Renacimiento, particularmente en las artes plásticas y la arquitectura. Se consideraba la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.

Da Vinci hizo las ilustraciones para una disertación publicada por Luca Pacioli en 1509 titulada De Divina Proportione, quizás la referencia más temprana en la literatura a otro de sus nombres, el de "Divina Proporción". Este libro contiene los dibujos hechos por Leonardo da Vinci de los cinco sólidos platónicos. Es probable que fuera Leonardo quien diera por primera vez el nombre de sectio áurea. En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

El rostro de la Gioconda proporcionado con rectángulos áureos.

Los artistas de Renacimiento utilizaron la sección áurea en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo da Vinci, por ejemplo, la utilizó para definir todas las proporciones fundamentales en su pintura La última cena, desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo.

Leonardo da Vinci, en su cuadro de la Gioconda utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro, empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo.

El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), descubridor de la naturaleza elíptica de las órbitas de los planetas alrededor del Sol, mencionó también la divina proporción: “La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”.

Hoy en día la sección áurea se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido sería la medida de las tarjetas de crédito, la cual también sigue dicho patrón, así como nuestro carné de identidad y también en las cajetillas de cigarrillos.

En la arquitectura moderna sigue usándose; por ejemplo, está presente en el conocido edificio de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma rectangular cuya cara mayor sigue las citadas proporciones.

[editar] La sección áurea en la naturaleza

nautilus

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea:

Según el propio Leonardo de Pisa Fibonacci, en su Libro de los ábacos, la secuencia puede ayudar a calcular casi perfectamente el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad).
La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol (no sólo del nautilus)
La relación entre los lados de un pentáculo *.
La relación entre los lados de un pentágono *.
La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
La distribución de las hojas en un tallo
La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles
La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).
La distancia entre las espirales de una piña.
Las relaciones entre las partes del cuerpo de los humanos, los insectos, las aves y otros animales:
- La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
- La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
- La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
- La relación entre las divisiones vertebrales.
- La relación entre las articulaciones de las manos y los pies; etc.

[editar] La sección áurea en el arte

Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci

Relaciones arquitectónicas en las Pirámides de Egipto.
La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).
En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.
Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci.
En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).
En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre, Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones de este número fi (1,618) en la naturaleza.
En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión NUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio de la matemática Charlie Eppes menciona que el número fi se encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral de las galaxias y en la concha del nautilus.

Arte Póvera, movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan en esta sucesión.
En la cinta de Darren Aronofsky Pi, el orden del caos el personaje central, Max Cohen, explica la relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección áurea, aunque denominándola incorrectamente como Theta (θ) en vez de Phi (Φ).

[editar] El número áureo en la música

Autores como Bártok, Messiaen y Stockhausen, entre otros, compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propósito) con la sección áurea.

El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías, para organizar las partes (unidades formales).

El grupo de rock progresivo norteamericano Tool, en su disco Lateralus (2001) hacen múltiples referencias al número áureo y a la secuencia Fibonacci, sobre todo en la canción que da nombre al disco, pues los versos de la misma están cantados de forma que el número de sílabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia. Además la voz entra en el minuto 1:37, que pasado al sistema decimal coincide muy aproximadamente con el número áureo.

[editar] La sección áurea en el pentáculo

Pentáculo

Existe la relación del número áureo también en el pentáculo, un símbolo pagano, más tarde acogido por la iglesia católica para representar a la Virgen María, y también por Leonardo da Vinci para asentar en él al hombre de Vitruvio.

Gráficamente el número áureo es la relación entre el lado del pentágono regular y la recta que une dos vértices no consecutivos de éste. Si se toma como unidad un lado del pentágono interior, cualquier línea que marca los brazos de la estrella mide Φ. También la longitud total de cualquiera de las cinco líneas que atraviesan la estrella mide Φ³, mientras que la suma del lado interior y cualquiera de sus brazos es Φ².

Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande.

Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ.

[editar] Qué es y de dónde proviene el número áureo

Se divide un segmento cualquiera en dos partes de forma que la razón entre la totalidad del segmento y una parte (la mayor) sea igual a la razón entre esta parte y la otra. Matemáticamente, siendo las partes a y b :

$\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b}$

Esta razón, que cumple la propiedad, es denominada razón áurea. Se puede obtener este número a partir de la expresión anterior:

$\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} ;\; a^2 = b( a + b ) = ba + b^2 ;\; a^2 - ba - b^2 = 0$

Se puede despejar a utilizando la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, teniendo en cuenta que $a > 0$ y $b > 0$ :

$a = \frac{b + \sqrt{b^2 + 4b^2}}{2} = \frac{b + \sqrt{5b^2}}{2} = \frac{b + b\sqrt{5}}{2} = \frac{b\left(1 + \sqrt{5}\right)}{2}$

Dividiendo todo por b se obtiene:

$\frac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \Phi$

[editar] El rectángulo áureo de Euclides

Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.

El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides en su proposición 2.11 de Los elementos obtiene su construcción.

Partimos del cuadrado ABCD de lado 2, siendo G el punto medio de uno de sus lados. De acuerdo con el teorema de Pitágoras

$GC=\sqrt{BC^2+GB^2}$

$GC = \sqrt{5}$

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto

$GE=GC=\sqrt{5}$

resultando evidente que

$AE = AG + GE = 1 + \sqrt{5}$

de donde, finalmente

$\frac{AE}{AD} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}= \Phi$

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que éste último es asimismo un rectángulo áureo.

[editar] Propiedades

Φ es irracional, y el único número real positivo con:

$\Phi^2 = \Phi + 1\$

La expresión anterior es fácil de comprobar:

$\Phi^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{2^2} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2^2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$\Phi + 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Φ posee además las siguientes propiedades:

$\Phi - 1 = \frac{1}{\Phi} \$

$\Phi^3 = \frac {\Phi + 1} {{\Phi - 1}} \$

[editar] Representación mediante fracciones continuas

La expresión mediante fracciones continuas es:

$\Phi = 1 + \frac{1}{\Phi} \quad \longrightarrow \quad \Phi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}$

Sorprendente interacción única (suma y multiplicación), (resta y división), donde sumar es multiplicar y restar es dividir.

[editar] Representación mediante ecuaciones algebraicas

$(\Phi)(\Phi - 1) = 1 \quad \longrightarrow \quad (\Phi)^2 - \Phi - 1 = 0 \quad \longrightarrow \quad \Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

La verdad acerca de este numero es un misterio a

[editar] Representación mediante raíces anidadas

$\Phi = \sqrt{1 + \Phi} \quad \longrightarrow \quad \Phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 +\cdots }}}}$

[editar] Enlaces externos

Commons

Commons alberga contenido multimedia sobre Número áureo.
Astronomy.swin.edu.au (Fi, la sección áurea).
ChampionTrees.org (Fi: la proporción divina).
Epsilones.com (la sección áurea y la Gran Pirámide de Giza).
GoldenNumber.net (Las primeras 20 000 cifras decimales del número de oro].
GoldenRatio.com.ar (propiedades interesantes del número áureo y aplicación en la biología).
MCS.Surrey.ac.uk (La sección áurea: fi).
MathWorld.Wolfram.com/GoldenRatio.html (la sección áurea).
Rt000z8y.EresMas.net (una buena página que explica Φ detalladamente]
Rt000z8y.EresMas.net (más ejemplos de Φ en la vida).
Castor.es (El número Fi en la arquitectura, pintura, animales, plantas etc.)
Sucesiones áureas en MATLAB
Sucesiones áureas en MATLAB II