Логарифмическая спираль

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Логарифмическая спираль (наклон 10°)

Логарифмическая спираль или изогональная спираль ― особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis, «удивительная спираль».

[править] Определение

В полярных координатах кривая может быть записана как

$r = ae^{b\theta}\,$

либо

$\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),$

что объясняет название «логарифмическая».

В параметрической форме может быть записана как

$x(t) = r \cos(t) = ae^{bt} \cos(t)\,$

$y(t) = r \sin(t) = ae^{bt} \sin(t)\,$

где a, b действительные числа.

Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором точки касания, постоянный и зависит лишь от параметра $b$ .

В терминах диффиренциальной геометрии это может быть записано как

$\arccos \frac{\langle \mathbf{r}(\theta), \mathbf{r}'(\theta) \rangle}{\|\mathbf{r}(\theta)\|\|\mathbf{r}'(\theta)\|} = \arctan \frac{1}{b} = \phi,$

Производная функции r'(θ) пропорциональна параметру b. Другими словами, он контролирует насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В предельном случае, когда b = 0 (ɸ = π/2) спираль вырождается в окружность радиуса a. Наоборот, когда предел b стремится к бесконечности (ɸ → 0) спираль стремится к прямой линии. Угол, дополняющий ɸ до 90°, называется наклоном спирали.

Это незавершённая статья. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её.
Это примечание следует заменить более точным.

Категории: Кривые | Незавершённые статьи

Логарифмическая спираль

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Определение

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках