Topología geométrica

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La topología geométrica (topología de dimensiones bajas) es el área de la topología y la topología algebraica que estudia problemas geométricos, topológicos y algebraicos que surgen en el estudio de variedades de dimensiones menores que 5, espacios localmente homeomorfos a los espacios euclídeos, desde dimensión cero hasta la cuarta. Sus métodos estan inspirados en la geometría y la topología de fenómenos físicos inclusive relativistas y cuánticos e idealizaciones abstractas modernas sobre el concepto de dimensiones: destacadamente y prominentemente, en tres y cuatro dimensiones.

Para ésta ciencia -que estudia las variedades y los encajes y encajes propios entre ellas-, estos son unos algunos de los tópicos representativos de esta ciencia: la teoría de nudos; clasificación de 3 y 4-variedades; Complementos de nudos en la n-esfera, $S n$ ; TQFT.

La topología de dimensiones bajas (como también se le conoce) es considerada una ciencia de una gran interactividad entre todas la ramas de la matemática y con otras de la física. Una de las cuestiones importantes de esta rama (recién nresuelta por Perelman del 2006) es la célebre Conjetura de Poincaré, tanto como la conjetura de geometrización de Thruston.

[editar] Tópicos

[editar] 1-variedades

curva: Parametrización de un camino diferenciable entre dos puntos en algún espacio
trayectoria: Casi com curva pero no necesariamente diferenciable, sólo se pide continuidad
Círculo o 1-esfera: cualquier trayectoria o camino o curva cerrada simple
grupo fundamental: Functor de la topología algebraica que asigna a un espacio, X, su grupo fundamental $π 1 (X)$
nudo: En el espacio X, es un subconjunto K de X, que es homeomorfo a la uno-esfera
enlace: Conjunto de componentes conexas, cada componente homeomorfo a $S 1$
trenza (braid): Conjunto unidimensional que tiene el tipo homotópico de un wedge de círculos
grupo de trenzas (braid group)
Nudo tórico: curva cerrada simple en la superficie del toro

[editar] 2-variedades

superficie: La cáscara de objetos tridimensionales. Objetos localmente homeomorfos a $\mathbb{R}^2$
esfera:
toro (matemáticas):
plano proyectivo: Espacio bidimensional construido apartir de identificar la dçfrontera de una banda de mobius y la frontera de un disco
botella de Klein: Espacio apartir de pegar la frontera de dos bandas de mobius
aro o cilindro:I-bindle trivial sobre la 1-esfera
banda de Möbius: Fibrado no trivial por intervalo sobre un círculo (I-bundle over S¹)
Característica de Euler: Igual a (número de) vertices menos lados más caras
Plano complejo: $\mathbb{R}^2$
Plano cartesiano: $\mathbb{C}$
Curvatura de superficies: Concepto de medida de como se curvan las superficies localmente, teniendo como patrón la esfera de radio r que se curva localmente 1/r² en cada uno de sus puntos. Observe que entre más grande el radio, la curvatura tiende a cero (que es la curvatura del plano). Dicho de otra manera: un plano es como una esfera de radio infinito.