Valor absoluto

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Gráfica de la función valor absoluto

El valor absoluto (llamado también módulo) de un número complejo $z$ (representado como $| z |$ ) viene dado por la siguiente expresión:

$|z| = \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}$

Podemos notar que el valor absoluto de un número siempre tomará valores no-negativos, es decir:

$\forall{z}{\in}\mathbb{C}\; |z| \geq 0$

La propiedad más importante del valor absoluto es la siguiente:

$|z| = \left| -z \right| \Longleftrightarrow \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2} = \sqrt{\mathrm{Re}(-z)^2 + \mathrm{Im}(-z)^2}$

De forma que:

$z = a + \mathrm{i}b \Longrightarrow |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

$-z = -a - \mathrm{i}b \Longrightarrow \left| -z \right| = \sqrt{a^2 + b^2}$

[editar] Valor absoluto de los números reales

Un número real es un número complejo con parte imaginaria igual a 0, de forma que:

$x \in \mathbb{R} \Longrightarrow |x| = \left| -x \right| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2}$

Así, para los números reales, existe una definición alternativa de valor absoluto:

$\forall{x}{\in}\mathbb{R}\; |x| = \left\{\begin{matrix} x, & \mbox{si }x\ge 0 \\ -x, & \mbox{si }x<0 \end{matrix}\right.$

Se utiliza la función módulo para expresar la solución de la raíz de una incógnita elevada a una potencia de orden par ya que la misma tiene dos resultados vàlidos, un número y su correspondiente inverso, ya que ambos arrojan un resultado positivo al ser elevados a una potencia par. Esto no ocurre cuando el orden es impar, ya que el signo no se ve alterado por la potenciación.

[editar] Evaluaciones

El máximo concepto de valor absoluto se puede utilizar para hallar la distancia entre dos puntos. En física es muy usual hablar del módulo o norma para referirse a la longitud de un vector.

Si a y b son dos puntos en la recta real entonces la distancia de a a b está dada por d(a, b) = |b - a|

Si por ejemplo b = 0 y a = 5, la expresión |-5| puede leerse como |-5| es la distancia del punto 5 al origen. Observando la recta numérica se llega a la conclusión que |-5| = 5. De la misma manera, si b = 0 y a = -5 se concluye que |5| = 5 y por lo tanto |-5| = |5|.

Otro ejemplo. Utilizando el mismo razonamiento anterior, la inecuación |x - 5| < 10 puede leerse como x son los puntos cuya distancia al punto 5 es menor que 10. Mirando en la recta se puede ver que los puntos que cumplen con dicha condición pertenecen al intervalo (-5;15). A este intervalo abierto se lo denomina intervalo.