Azelerazio

Wikipedia(e)tik

Fisika klasikoan, azelerazioa denborarekiko abiadurak pairatzen duen aldaketa da. Dakigunez, abiaduraren aldaketa edozein norabidetan gerta daiteke. Hori zehazteko bektorea dela esaten da.

[aldatu] Batazbesteko azelerazioa

Batazbesteko azelerazioa esaten zaio denbora tarte batekiko gertatu den abiaduraren aldaketa.

$\vec {a_b} = \frac {\Delta \vec {v}}{\Delta t} = \frac {\vec {v_a} - \vec {v_h}}{t_a - t_h}$

$\vec {a_b}$ : batazbesteko azelerazioa

$\Delta \vec {v}$ : abiaduraren aldaketa

$\Delta t \,$ : denboraren aldaketa

$\vec {v_a}$ eta $t_a \,$ : amaierako abiadura eta denbora

$\vec {v_h}$ eta $t_h \,$ : hasierako abiadura eta denbora

[aldatu] Aldiuneko azelerazioa

Aldiune zehatz baten abiadura aldaketa denborarekiko.

$\vec a= \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta \vec {v}}{\Delta t} = \frac {d \vec {v}}{dt}$

${d \vec {s}} \,$ abiaduraren diferentziala izanda

${dt} \,$ denboraren diferentziala izanik

[aldatu] Bi osagaiak

Azelerazioak bi osagai ditu, osagai tangentziala eta osagai normala. Lehenengoak abiaduraren moduluaren aldaketa adierazten du, desplazamenduaren norabidean izanik; eta bigarrenak abiadurak denborarekiko pairatzen duen norabide aldaketa azaltzen du, norabidearekiko perpendikularra izanik.

[aldatu] Azelerazio tangentziala

Azelerazio tangentziala denborarekiko abiaduraren moduluaren aldaketa da

Azelerazio tangentziala denbora unitateko abiaduraren moduluak pairatzen duen aldaketa da. Beraz,

$\vec {a_t} = \frac {dv}{dt} \hat {u_t}$

[aldatu] higidura zuzenean

Definizioak esaten duenez, azelerazio tangentziala bakarrik egongo da abiadura konstantea ez den kasuetan.

[aldatu] higidura zirkularrean

Bakarrik egongo da azelerazio tangentziala azelerazio angeluarra nulua ez bada. Honekin daukan harremana $\vec {v} = \vec {\omega} \times \vec {r}$ formula berean ordezkatzean ezagutuko dugu. Bi bektoreak (abiadura angeluarraren sasibektorea eta erradioaren bektorea) perpendikularrak dira eta beraien biderkadura bektoriala $\hat {u_t}$ rekiko perpendikularra da.

$\vec {a_t} = \frac {d \vec {v}}{dt} \hat {u_t} = \frac {d ({\omega} \cdot {r})}{dt} \hat {u_t} = \frac {d \omega}{dt} r \hat {u_t} + \omega \frac {dr}{dt} \hat {u_t} = \frac {d \omega}{dt} r \hat {u_t} = (r \cdot \alpha) \hat {u_t}$

[aldatu] Azelerazio normala

Azelerazio normala denbora unitateko abiadurak pairatzen duen aldaketa da. Norabide aldaketa hau aldiune horretako norabidearekiko perpendikularra izanda. Norabide aldaketa dagoenez aldiune horretan biraketa dagoela esan genezake. Azelerazio normalaren adierazpen matematikoa ondorengoa da:

$\vec {a_n} = \frac {v^2}{\rho} \hat {u_n}$

$\hat {u_n}$ : norabidearekiko perpendikularra eta biraketa zentrura doan bektore unitarioa.

$\rho \,$ : alegiazko biraketa zentrurainoko distantzia

[aldatu] higidura zuzenean

Higidurak, zuzena izateko, baldintza bakarra eskatzen du: norabide aldaketarik ez egotea. Beraz, lerro zuzenean doa. Eta definizioaren arabera ondorioztatzen da azelerazio normala nulua izango dela.

[aldatu] higidura zirzkularrean

Higidura zirkularrean partikulak aldiune bakoitzean norabide ezberdina dauka. Beraz, azelerazio normala ez da inoiz nulua izango. Aurretik azaldu denez, azelerazio normala abiadura eta biraketa-erradioarekin dago erlazionatuta. Kalkulu errezen bidez higidura zirkularreko kontzeptuekin konpara daiteke.

$\vec {a_n} = \frac {v^2}{\rho} \hat {u_n} = \frac {v^2}{r} \hat {u_n} = \frac {(\omega \cdot r)^2}{r} \hat {u_n} = {\omega}^2 r \cdot \hat {u_n}$

[aldatu] Beste arlo batzuekin erlazioa

Fisikako beste arlo eta gai batzuekin daukan harremana, bai definizioz eta bai matematikoki.

[aldatu] Higidura Zuzenean

Lerro zuzenean higitzen diren partikulen deskripzioan.

[aldatu] Abiaduraren definizioan

$v - v_0 = \int_0^t a \cdot \mathrm {d}t = a\cdot t$

$\vec v = \vec {v_h} + \vec a \cdot t$

[aldatu] Posizioaren definizioan

Posizioa definitzeko

$r - r_h = \int_0^t (a\cdot t + v_h)\cdot \mathrm{d}t' = \int_0^t a\cdot t\cdot \mathrm{d}t + \int_0^t v_h\cdot \mathrm{d}t = \frac{a}{2} \cdot t^2 + v_h\cdot t$

$\vec r = \vec {r_h} + \vec {v_h} \cdot t + \frac{\vec {a}}{2} \cdot t^2$

[aldatu] Newtonen legeetan

Isaac Newtonek proposatutako lege ospetsu hauekin harreman handia dauka. Gogoratu behar da bertan indar kontzeptua definitzen dela; azelerazioarekin harreman handia daukana.

[aldatu] 1.go legea

Kanpo-indarrak nuluak diren erreferntzi-sistema inertzial batean higidura lerro zuzen eta uniformean segituko da.

Beraz,

$\vec F = 0 \rightarrow \vec a = 0$

[aldatu] 2. legea

Indarra da momentu linealaren aldaketa denborarekiko.

$\vec \mathbf F = \frac {d \vec p}{dt} = m \cdot \frac {\vec v}{dt} = \mathbf m \cdot \vec \mathbf a$

Indarra masa eta azelerazioaren arteko biderkadura da.

$\vec F = m \cdot \vec a$

[aldatu] Grabitazio Unibertsalaren legea

Lege honetan bi gorputzek, masa eukitzeagatik, egiten duten elkarrekintza azaltzen da. Formula adierazten da.

$\vec F = -G \frac {m_1 m_2}{r^2} \hat r$

G

: Grabitazio Unibertsalaren konstantea

m 1

: lehenengo gorputzaren masa

m 2

: bigarren gorputzaren masa

r

: distantzia

Beraz, bigarren gorputzak lehenengorantz pairatuko lukeen azelerazioa:

$\vec a = -G \frac {m_1}{r^2} \hat r$

Hau da askotan $\vec g$ deitua izaten dena. Lurrak lurrazalean 9,8 m/s² inguruko baliokoa sortzen du. Hau da, lurrazalean eta hutsean edozein gorputz azelerazio horrekin jausten da zorura.

[aldatu] Higidura erlatiboa

Erreferentzia-sistema batetik beste baten gertatutako azelerazio bat aztertzean, elkarrekiko inertzialak ez badira, azelerazioak hainbat osagai izango ditu, fikziozko osagaiak deituak direnak. Fikziozkoak izaten dira deituak ez direlako indar bereziek sortuak, erreferentzia sistemaren aldaketan transformazioaren kalkuluek baizik. Bi kasu konkretu eta biak batzen dituen kasu orokorra aztertuko dira ondoren:

[aldatu] translazioa

Erreferentzia-sistema bat bestearekiko higiduran dagoenean ardatzak paralelo mantenduz konstatnteki. Hemen kontsideratuko da ardatzen artean azeleraziorik ez dagoela.

$\vec a = \vec {a'}$

$\vec {a'}$ : partikula baten lehenengo errefentzia sistemarekiko daukan azelerazioa.

$\vec {a'}$ : partikula baten bigarren errefentzia sistemarekiko daukan azelerazioa.

[aldatu] errotazioa

Erreferentzia sistema bat beste batekiko abiadura angeluar konstantean higitzen, bi jatorriak puntu berean daudelarik:

$( \frac {\mathrm d \vec {v}}{\mathrm d t})_B$ da kalkulatu behar duguna

$(\frac {\mathrm d \vec {v}}{\mathrm d t})_B = (\frac {\mathrm d \vec {v'}}{\mathrm d t})_B + [\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} (\vec \omega \times \vec {r'})]$

Biderketa baten deribatua lehenengoaren deribatua bider bigarrena gehi lehenengoa bider bigarrenaren deribatua dela jakinik, eta abiadura angeluarra konstantea dela kontsideratu dugunez,

$(\frac {\mathrm d \vec {v}}{\mathrm d t})_B = (\frac {\mathrm d \vec {v'}}{\mathrm d t})_B + (\vec \omega \times \frac{\mathrm d \vec {r'}}{\mathrm d t})_B$

Abiaduraren deribatua luzeago idatziz,

$(\frac {\mathrm d \vec {v}}{\mathrm d t})_B = [\frac {\mathrm d}{\mathrm d t} ({v_x}' \hat {i'} + {v_y}' \hat {j'} + {v_z}' \hat {k'})]_B + (\vec \omega \times \frac{\mathrm d \vec {r'}}{\mathrm d t})_B$

Lehenengo deribatuak egin ostean hau da gelditzen zaiguna:

$(\frac {\mathrm d \vec {v}}{\mathrm d t})_B = \vec {a'} + \vec \omega \times \vec {v'} + (\vec \omega \times \frac{\mathrm d \vec {r'}}{\mathrm d t})_B$

Bigarren deribatua egiterakoan:

$\vec a = (\frac {\mathrm d \vec {v}}{\mathrm d t})_B = \vec {a'} + \vec \omega \times \vec {v'} + [\vec \omega \times (\vec {v'} + \vec \omega \times \vec {r'})]$

Banatzen badugu parentesi artekoa eta gehitzen badugu honako hau lortuko da:

$\vec a = \vec {a'} + \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec {r'}) + 2 \vec \omega \times \vec {v'}$

$\vec a$ : azelerazio absolutua

$\vec {a'}$ : azelerazio erlatiboa

$\vec \omega \times (\vec \omega \times \vec {r'})$ : azelerazio zentripetua

$2 \vec \omega \times \vec {v'}$ : Coriolisen azelerazioa

[aldatu] kasu orokorra

Aurreko bi kasuak kontuan hartzen dituen higidura, errotaziodun translazioa. Lurrak Eguzkiaren inguruan daramana, hain zuzen ere:

$\vec a = \vec {a'} + \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec {r'}) + 2 \vec \omega \times \vec {v'}$

Aldiz, kontuan hartzen baditugu erreferntzi-sistema batek bestearekiko daraman azelerazioa eta biraketaren azelerazio angeluarra ez-nulua dela suposatuz.

$\vec a = \vec A + \vec \alpha \times \vec {r'} + \vec {a'} + \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec {r'}) + 2 \vec \omega \times \vec {v'}$

[aldatu] Unitateak

Nazioarteko Unitate Sistemak ez dauka unitate berezirik. Horregatik era biltzen dira $[{luzera \over (denbora)^2}] \,$ ren unitateak. Hau da, $\frac {m}{s^2}$ .
cgs sistemak badauka unitate berezi bat azeleraziorako: gala. $\frac {zm}{s^2}$ ren baliokidea da.