Differentiaaligeometria
Wikipedia
Differentiaaligeometria tarkoitti alun perin differentiaalilaskennan käyttöä käyrien ja pintojen tutkimiseen tasossa, tai kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Modernimmassa merkityksessä tutkiminen laajennetaan yleisimpiin avaruuksiin eli monistoihin, sekä niiden alimonistoihin, niin ikään käyttäen differentiaali- ja integraalilaskennan menetelmiä ja työkaluja. Erityisen tärkeässä asemassa on tensorin käsite.
Riemannin geometria on monistojen differentiaaligeometrian tärkein osa. Tarkasteluun otetaan mukaan eräänlainen metriikka, joka mahdollistaa muun muassa käyrien pituuksien ja alimonistojen pinta-alojen laskemisen, sekä erilaisten variaatio-ongelmien asettelun ja ratkaisemisen. Tältä pohjalta voidaan puhua esimerkiksi geodeeseista tai minimaalipinnoista, jotka ovat usein keskeisiä differentiaaligeometrian sovelluksissa. Kaarevuuden käsitteellä on erityisen tärkeä rooli Riemannin geometriassa, sillä tutkittavan moniston kaarevuustensori pitää sisällään muun muassa informaatiota Riemannin moniston globaaleista ominaisuuksista ja topologiasta. Kaarevuustensorin lokaalien ominaisuuksien ja Riemannin moniston globaalien ominaisuuksien yhteyden selvittäminen on modernin Riemannin geometrian tärkeimmpiä ongelmia.
Yleinen suhteellisuusteoria on eräs differentiaaligeometrian keskeisimpiä käytännön sovelluksia.
[muokkaa] Lähteet
http://www.helsinki.fi/~iholopai/diffgeom.html
