Transpoosi

Wikipedia

Lineaarialgebrassa matriisin transpoosi on matriisi, joka saadaan kun alkuperäisen matriisin rivit muutetaan sarakkeiksi ja päinvastoin. Siten neliömatriisin transpoosi saadaan peilaamalla alkiot päälävistäjän suhteen. Matriisin A transpoosia merkitään A^tr, ^tA, A′ tai A^T.

Muodollisesti m×n matriisin A transpoosi on n×m matriisi A^T, jolle A^T[i, j] = A[j, i] kaikilla 1 ≤ i ≤ n ja 1 ≤ j ≤ m.

Esimerkiksi

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\quad\quad \mbox{ja}\quad\quad \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;$

[muokkaa] Ominaisuuksia

Kaikille m×n matriiseille A ja B ja kaikille skalaareille c pätee (A + B)^T = A^T + B^T ja (cA)^T = c(A^T). Tämän perusteella transpoosi on lineaarikuvaus m×n matriisien joukosta n×m matriisien joukkoon.

Transpoosi on itsensä käänteiskuvaus eli (A^T)^T = A.

Jos A on m×n-matriisi ja B on n×k-matriisi, on (AB)^T = (B^T)(A^T). Huomaa, että tulon tekijöiden järjestys vaihtuu. Tästä voidaan päätellä, että neliömatriisi A on kääntyvä vain jos A^T on kääntyvä. Tällöin on (A^-1)^T = (A^T)^-1.

Kahden vektorin a ja b pistetulo voidaan laskea matriisitulona

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b} \,$

missä oikealla puolella oleva tulo on tavallinen matriisien kertolasku.

Jos A on mielivaltainen reaalikertoiminen m×n matriisi, on A^TA positiivisesti semidefiniitti matriisi.

Jos A on n×n matriisi jossain kunnassa, on A similaarinen transpoosinsa A^T kanssa.

[muokkaa] Lisää määritelmiä

Jos neliömatriisi A on itsensä transpoosi, A:ta sanotaan symmetriseksi. Siis A on symmetrinen vain jos

$\ A = A^{\mathrm{T}}$

Ortogonaalinen matriisi on matriisi A, jolle A^-1=A^T.

Jos neliömatriisille A pätee A^T=-A, sanotaan A:ta vinosymmetriseksi.

Kompleksikertomisen matriisin A konjugaattinen transpoosi A^* saadaan kun A transponoidaan ja sen jälkeen jokaisesta alkiosta otetaan kompleksikonjugaatti.

[muokkaa] Lineaarikuvausten transpoosi

Jos f: V→W on vektoriavaruuksien välinen lineaarinen operaattori duaaliavaruuksinaan W* ja V*, on f:n transpoosi määritelmän mukaan lineaarikuvaus ^tf : W*→V*, jolle

${}^t f (\phi ) = \phi \circ f \,$