転置行列

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転置行列（てんちぎょうれつ、transposed matrix）とは m 行n 列の行列 A に対して A の (i, j) 要素と (j, i) 要素を入れ替えた n 行 m 列の行列、つまり対角線で成分を折り返した行列のことである。転置行列は A^T や ^tA、また A^tr などと表現される。

目次 1 例 2 性質 3 線形写像との関係 4 関連項目

[編集] 例

に対して転置行列 A^T, B^T はそれぞれ

[編集] 性質

A, B は行列、k はスカラーとして各演算が定義できる限りにおいて次が成り立つ：

• (A^T)^T = A, (A + B)^T = A^T + B^T, (AB)^T = B^TA^T, (kA)^T = kA^T。

• n 次正方行列 A のトレースを tr A とすると tr A = tr A^T。
• n 次正方行列 A と標準内積 (·, ·) に関して (Ax, y) = (x, A^Ty) が任意の n 次元ベクトル x, y に対して成り立つ。

[編集] 線形写像との関係

m × n 行列 A を n 次元ベクトル空間 V から m 次元ベクトル空間 W への線形写像 f_A とみなすとき、A の転置行列 A^T には f_A の転置写像が対応する。すなわち、A^T に対応する W の双対空間 W^* から V の双対空間 V^* への線形写像は

(for ξ ∈ W^*) によって定義される写像 ^tf_A: W^* → V^* である。

[編集] 関連項目

• 対称行列
• 反傾行列
• 随伴行列
• 交代行列（歪対称行列）
• 直交行列

• 双対ベクトル空間