Cohomologie de De Rham

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Sommaire

1 Théorie locale
2 Théorie globale
3 Liens
4 Bibliographie
- 4.1 Ouvrages de mathématiques
- 4.2 Ouvrages pour physiciens théoriciens

[modifier] Théorie locale

Soit $M$ une variété différentielle, $T M$ son espace fibré tangent,et $T * M$ son espace fibré cotangent. Par produit tensoriel, on construit $T^n_p M = (\otimes_n T M) \ (\otimes_p T^* M)$ .

On note $\Lambda^p \subset T^0_p M$ l'ensemble des formes différentielles $ω$ de degré $p$ sur $M$ .

Soit $d\,$ l'opérateur de différentiation extérieure sur les formes différentielles :

$d \ : \quad \Lambda^p \quad \mapsto \quad \Lambda^{p+1}$

qui associe à la forme différentielle $\omega\,$ de degré $p\,$ sa dérivée extérieure $d ω$ , forme différentielle de degré $p + 1$ .

[modifier] Forme fermée

Lorsque $d ω = 0$ , on dit que la forme différentielle $ω$ est fermée.

[modifier] Forme exacte

Lorsque $ω = d α$ , on dit que la forme différentielle $ω$ est exacte.

[modifier] Lemme de Poincaré

On sait que l'opérateur $d$ est nilpotent : $d 2 = 0$ . On en déduit que :

Toute forme différentielle exacte est fermée.

Le lemme de Poincaré permet de montrer que la réciproque est vraie localement :

Toute forme différentielle fermée est localement exacte.

Plus précisément, toute forme fermée sur un ouvert étoilé, ou sur un ouvert difféomorphe à un ouvert étoilé, est exacte. (Rappelons que $U\subset \R^n \,$ est un étoilé s'il existe un point $a\,$ tel que pour tout $x\in U\,$ , le segment $[a,x]\,$ soit inclus dans $U\,$ ). Une boule ou un convexe sont étoilés.

[modifier] Théorie globale

La réciproque de la propriété ci-dessus est fausse. Par exemple, sur le plan $\R^2\,$ privé de l'origine, la forme $\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}\,$ est fermée, mais non exacte.

[modifier] Notations

$Z p (M)$ l'espace des $p$ -formes fermées.

$B p (M)$ le sous-espace des $p$ -formes exactes.

[modifier] Définition : groupes de cohomologie (de Rham)

On définit le $p$ -ème groupe de cohomologie de de Rham $H p (M)$ comme étant l'espace quotient de $Z p (M)$ par $B p (M)$ :

$H^p(M) \ = \ Z^p(M) \, / \, B^p(M)$

c'est-à-dire l'espace des $p$ -formes fermées modulo le sous-espace des $p$ -formes exactes.

En introduisant la notation suivante pour la dérivation extérieure :

$d_{p+1} \ : \quad \Lambda^p \quad \mapsto \quad \Lambda^{p+1}$

qui précise le degré de la forme dérivée obtenue, on peut écrire également :

$H^p(M) \ = \ \mathrm{ker} \, (d_{p+1}) \, / \, \mathrm{im}\, (d_{p})$

où $ker$ désigne le noyau, et $im$ l'image des opérateurs respectifs.

[modifier] Exemples

$H^0(M)\simeq\R^c\,$ , où $c\,$ désigne le nombre de composantes connexes de $M\,$ .
Si $M\,$ est une variété lisse compacte connexe et orientable de dimension $n\,$ , alors $H^n(M)\,$ est de dimension $1\,$ .
Si $M\,$ n'est pas orientable (les autres hypothèses restant les mêmes), $H^n(M)=0\,$
$H^k(S^n)=0\,$ pour $0<k<n\,$

[modifier] Liens

Homologie
Homologie singulière
Homologie cellulaire

[modifier] Bibliographie

[modifier] Ouvrages de mathématiques

William Fulton ; Algebraic Topology: A First Course, Graduate Texts in Mathematics 153, Springer-Verlag (1995), ISBN 0-387-94327-7.

Raoul Bott & Loring W. Tu ; Differential Forms in Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics 82, Springer-Verlag (3ème tirage corrigé - 1995), ISBN 0-387-90613-4.

Glen E. Bredon ; Topology & Geometry, Graduate Texts in Mathematics 139, Springer-Verlag (1993), ISBN 0-387-97926-3.

Jacques Lafontaine ; Introduction aux variétés différentielles, Press Universitaires de Grenoble 1996

[modifier] Ouvrages pour physiciens théoriciens

Theodore Frenkel ; The Geometry of Physics - An introduction, Cambridge University Press (1997), ISBN 0-521-38753-1.

Mikio Nakahara ; Geometry, Topology ans Physics, Institute of Physics Publishing (1990), ISBN 0-85274-095-6.

Charles Nash & Siddharta Sen ; Topology & Geometry for Physicists, Academic Press (1983), ISBN 0-12-514080-0.

Yvonne Choquet-Bruhat & Cécile deWitt-Morette ; Analysis, Manifolds & Physics - Part I: Basics, North-Holland/Elsevier (2ème édition révisée - 1982), ISBN 0-444-86017-7.

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