Produit tensoriel de deux modules

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[modifier] Introduction - applications bilinéaires

Lorsque M, N et F sont trois modules sur un même anneau commutatif unitaire A, on appelle application bilinéaire une application f : M × N → F, telle que :

f est linéaire à gauche, c'est-à-dire que $\forall \alpha, \beta \in A, \forall x, y \in E, \forall z \in F, f(\alpha x + \beta y,z) = \alpha f(x,z) + \beta f(y,z)$ .
f est linéaire à droite, c'est-à-dire que $\forall \alpha, \beta \in A, \forall x \in E, \forall y, z \in F, f(x, \alpha y + \beta z) = \alpha f(x,y) + \beta f(x,z)$ .

Les applications bilinéaires sont des objets mathématiques compliqués, c'est pourquoi on peut être tenté de ramener le problème des applications bilinéaires à celui des applications linéaires. En d'autres termes, existe-t-il un module $M \otimes N$ tel que :

Il existe une application bilinéaire $\varphi : M \times N \to M \otimes N$
Toute application bilinéaire $f : M \times N \to F$ se factorise à droite par $\varphi$ , c'est-à-dire qu'il existe une application linéaire $g : M \otimes N \to F$ telle que $f = g \circ \varphi$ .
Par ailleurs, on remarque que le sous-module φ(M × N) de $M \otimes N$ vérifie les deux propriétés précédentes, on peut donc supposer, quitte à restreindre l'espace d'arrivée de φ, que φ est surjective. On rajoute donc cette condition.

Sous ces trois conditions, on peut prouver qu'un tel module $M \otimes N$ existe et est unique à isomorphisme près.

[modifier] Définition

Soit M et N deux modules sur un même anneau commutatif unitaire A. L'espace $C = A^{(M \times N)}$ est le A-module des combinaisons linéaires formelles d'éléments de M × N. C est un A-module libre dont $(e_{(x,y)})_{(x,y) \in M \times N}$ est la base canonique.

On souhaite que les éléments de la forme

$e (x + y, z) - e (x, z) - e (y, z)$
$e (x, y + z) - e (x, y) - e (x, z)$
$e (α x, y) - α e (x, y)$
$e (x,α y) - α e (x, y)$

soient identifiés comme nuls. On appelle donc D le sous-module de C engendré par les éléments de la forme précédente. On appelle produit tensoriel de M et N, et on note $M \otimes_A N$ le module quotient C/D. Il est important de préciser l'anneau des scalaires A dans la notation du produit tensoriel. Néanmoins, si la situation est assez claire, on peut se permettre de ne pas trop surcharger les notations. On note $x \otimes y$ la classe de $e (x, y)$ dans $M \otimes_A N$ .

Réponse à la question initiale

[modifier] Généralisation à un produit fini de modules

Ce qui a été fait précédemment se généralise sans peine aux applications multilinéaires. Soit $E_1, \dots E_n$ n modules sur un même anneau commutatif unitaire $A$ . On considère le module produit $E = E_1 \times \cdots \times E_n$ . Une application f : E → F est dite n-linéaire si

Quels que soient l'indice i et les n - 1 éléments $x_k \in E_k (k \neq i)$ , l'application partielle $x_i \mapsto f(x_1, \dots, x_{i-1}, x_i, x_{i+1}, \dots, x_n)$ est linéaire.

Il existe un A-module que l'on note $\bigotimes_{i=1}^n E_i$ et une application n-linéaire surjective $\varphi : (x_1, \dots, x_n) \mapsto x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n$ de E dans $\bigotimes_{i=1}^n E_i$ telle que pour toute application n linéaire de E dans un module d'arrivée F, il existe une unique application linéaire $g : \bigotimes_{i=1}^n \to F$ telle que $f = g \circ \varphi$ .

En fait, le produit tensoriel de deux modules est associatif au sens suivant : si E, F, G sont trois modules sur un anneau commutatif unitaire A, alors les modules $(E \otimes_A F) \otimes_A G$ , $E \otimes_A (F \otimes_A G)$ et $E \otimes_A F \otimes_A G$ sont isomorphes.