Nombre abondant

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En mathématiques, un nombre abondant est un nombre entier naturel n qui est strictement inférieur à la somme de ses diviseurs stricts, autrement dit, tel que $\sigma(n) > 2n \,$ où $\sigma(n) \,$ est la somme des diviseurs entiers positifs de n y compris n.

Les nombres abondants ont été introduits vers 200 après J.C. par Nicomaque de Gérase dans son Introduction à l'arithmétique.

Leurs premières valeurs sont : 12, 18, 20, 24, 30, 36, ... (voir la séquence A005101 de l'OEIS).

La valeur $\sigma(n)-2n \,$ est appelée abondance de n. Les nombres dont l'abondance est nulle sont les nombres parfaits, et les nombres dont l'abondance est strictement négative les nombres déficients.

Un nombre abondant dont l'abondance est égale à 1 est appelé quasi-parfait, mais on ne sait pas à l'heure actuelle s'il en existe. Par contre, on remarquera que 20 a une abondance égale à 2.

Tout multiple strict d'un nombre parfait ou abondant est abondant. Il existe donc une infinité de nombres abondants, à commencer par les multiples stricts de 6.

[modifier] Nombres abondants primitifs

Un nombre abondant est dit primitif s'il n'est pas multiple strict d'un nombre abondant ; alors qu'on ne sait pas à l'heure actuelle s'il existe une infinité de nombres parfaits, on sait trouver une infinité de nombres abondants primitifs, comme par exemple les nombres de la forme $2 n p$ où $p$ est un nombre premier impair qui n'est pas un nombre de Mersenne et $2 n$ la plus grande puissance de 2 inférieure à $p$ (lorsque $p$ est un nombre de Mersenne, $2 n p$ est parfait).

Le premier nombre abondant impair (et primitif) est $945 = 3 3 .5.7$ ; alors qu'on n'a jamais trouvé de nombre parfait impair (mais qu'on n'a jamais démontré qu'il n'y en a pas), on sait qu'il existe une infinité de nombres abondants primitifs impairs (voir la séquence A006038 de l'OEIS qui possède comme sous-suite infinie la séquence A007741 de l'OEIS privée de son premier terme).

Anecdote au sujet du plus petit abondant impair : suite à une coquille, il a été écrit dans un livre d'Edouard Lucas au XIXe siècle que le plus petit abondant impair était $10665 = 3 3 .5.79$ (le 7 a été malencontreusement remplacé par 79). Cette erreur a été recopiée dans de nombreux livres, en particulier dans le très sérieux dictionnaire des mathématiques (PUF) où elle n'a été corrigée que dans l'édition de 2005.

Les premiers nombres abondants primitifs impairs (945, 1575, 2205, 3465, 4095, 5355, etc) sont tous multiples de 3 et 5, mais ce n'est pas une propriété générale ; le plus petit abondant impair non multiple de 3 est $52 .7.11.13.17.19.23.29 = 5391411025$ et il existe toujours une infinité de nombres abondants primitifs non divisibles par toute famille finie de nombres premiers (voir la séquence A047802 de l'OEIS).

D'ailleurs, Dickson a montré qu'il n'y a qu'un nombre fini de nombres abondants primitifs ayant un nombre fini de diviseurs premiers donnés.