Tenseur des contraintes

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Sommaire

1 Construction du tenseur
2 Symétrie du tenseur des contraintes
3 Pression isostatique
4 Principe de la coupure
5 Calcul des vecteurs-contrainte
- 5.1 Articles connexes

[modifier] Construction du tenseur

Prenons une base $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$ et un point M de la pièce. Considérons un cube de matière autour de M, d'arrête infinitésimale dx = a, et dont les arrêtes sont parallèles aux axes du repère.

numérotation des faces du cube

Numérotons ses faces :

les faces i et -i sont les faces normales à $\vec{e_i}$ , en partant du centre du cube, $\vec{e_i}$ pointe vers i, la face -i étant la face opposée.

Dans un premier temps, nous ne considérons que les faces numérotées positivement.

Indices des composante du tenseur

Sur la face j s'exerce un vecteur-force $\vec{F_j}$ qui a trois composantes :

$\vec{F_j} = \begin{pmatrix} F_{1j} \\ F_{2j} \\ F_{3j} \end{pmatrix}$

F_ij étant la composante selon $\vec{e_i}$ du vecteur-force s'exerçant sur la face j. La surface de chaque facette étant a², on peut définir neuf composantes σ_ij homogènes à des contraintes :

$\sigma_{ij} = \frac{F_{ij}}{a^2}$

On décrit donc l'état de contrainte par le tenseur

$T(M) = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}\\ \end{pmatrix}$

T est un tenseur d'ordre 2, à 3 lignes et 3 colonnes. Il est défini localement pour un point M donné.

[modifier] Symétrie du tenseur des contraintes

Lorsque le solide est à l'équilibre (les contraintes et déformations restent constantes dans le temps) et si l'on peut négliger la densité volumique de moment, alors le tenseur des contraintes est symétrique, c'est-à-dire que :

σ_i j = σ_j i

cela traduit l'équilibre en moment d'un volume élementaire.

Le tenseur s'écrit donc :

$T_{ij} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\ \sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_{33}\\ \end{pmatrix}$

[modifier] Pression isostatique

La pression isostatique P est définie comme le tiers de la trace de la matrice, c'est-à-dire comme la moyenne des termes diagonaux, changée de signe :

$P = -\frac{tr(T)}{3} = -\frac{\sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33}}{3}$

Sa valeur ne dépend pas du repère x y z utilisé.

C'est une généralisation de la notion de pression hydrostatique dans les liquides. Dans le cadre de la géophysique, on parle de pression lithostatique.

[modifier] Principe de la coupure

Une manière simple de déterminer le tenseur des contraintes consiste à employer le « principe de la coupure ». Il s'agit d'une opération de pensée dans laquelle on scie l'objet selon un plan donné.

Supposons un solide se déformant sous l'effet de deux forces extérieures opposées. Si l'on coupe le solide en deux et que l'on sépare les moitiés, alors chaque moitié n'est soumise qu'a une seule force et donc n'est plus déformée mais mise en mouvement. Pour que chaque moitié retrouve sa déformation, il faut exercer une pression sur chacune des faces de la coupure.

Lorsqu'il y a des symétries évidentes à un problème, le choix de plans de coupe judicieux permet de déterminer de manière simple le tenseur des contraintes. C'est ainsi que l'on peut déterminer que dans le cas de la torsion d'un tube, on a un cisaillement pur.

[modifier] Calcul des vecteurs-contrainte

Considérons le petit élément de volume $d τ$ délimité par le tétraèdre de sommets $M,(d x 1,0,0),(0, d x 2,0),(0,0, d x 3)$ . Les vecteurs normaux $\vec n$ aux faces sont donc $\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$ . La force $\vec{F}$ s'exerçant sur une face vérifie

$\vec F = T \cdot \vec n$

où $\vec n$ le vecteur caractéristique de la face, c'est-à-dire le vecteur normal ayant pour norme l'aire de la face.

On a par exemple sur la face $[M,(d x 1,0,0),(0, d x 2,0)]$ , la relation

$\vec F = \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \\ F_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\ \sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_{33}\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ (dx_1 \cdot dx_2)/2\\\end{pmatrix}$