Revêtement (mathématiques)

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En mathématiques, et plus particulièrement en topologie, un revêtement d'un espace topologique X par un espace topologique C est une application continue et surjective p : C → X telle que tout point $x\in X$ admette un voisinage ouvert U tel que l'image réciproque de U par p soit une union disjointe d'ouverts de C, chacun homéomorphe à U par p.

Il s'agit d'un cas particulier de fibration, à fibre discrète.

Sommaire

1 Exemples
2 Constructions de revêtements et terminologie
3 Théorie des revêtements
4 Applications
- 4.1 Graphes et groupes libres
- 4.2 théorème de Van Kampen
5 Revêtements ramifiés et surfaces de Riemann
6 Revêtements des groupes topologiques
7 Bibliographie (en français)

[modifier] Exemples

[modifier] Revêtement du cercle par une hélice

Soit $S 1$ le cercle dans le plan $\mathbb{R}^2=\mathbb{C}$ . La droite réelle $\mathbb{R}$ est alors un revêtement défini par l'application :

$p : \mathbb{R} \to S^1, \quad p(t)=(\cos(2\pi t), \sin(2\pi t))=e^{2i\pi t}$ .

Chaque fibre est ici infinie dénombrable ( $p^{-1}(p(x))=x+\mathbb{Z}$ ).

La construction se généralise au revêtement exponentiel du tore : $\mathbb{R}^n\to \mathbb{T}^n=\mathbb{S}^1\times\mathbb{S}^1\times\ldots\times\mathbb{S}^1\subset \mathbb{R}^{2n}$

La fibre est dénombrable : ( $p^{-1}(0)=\mathbb{Z}^n$ ).

[modifier] les fonctions puissance

L'application du plan complexe privé de l'origine $\mathbb{C}^*$

$p : \mathbb{C}^*\to \mathbb{C}^*, \quad p(z)=z^n$ définit un revêtement.

Chaque fibre est ici finie et a $n$ élements.

[modifier] l'application exponentielle

L'application du plan complexe $\mathbb{C}$

$p : \mathbb{C}\to \mathbb{C}^*, \quad p(z)=e^z$ définit un revêtement.

Chaque fibre est ici infinie dénombrable ( $p^{-1}(p(x))=x+2i\pi\mathbb{Z}$ ).

[modifier] la bande de Möbius

Voir l’article Ruban de Möbius.

La bande $\mathbb{S}^1\times [0; 1]$ est un revêtement de la bande de Möbius.

[modifier] Revêtement de l'espace projectif

L'application canonique $\mathbb{S}^n\to\mathbb{RP}^n$ est un revêtement de l'espace projectif (réel), la fibre a deux éléments.

[modifier] Constructions de revêtements et terminologie

[modifier] Espaces au dessus de B

Un espace au dessus d'un espace topologique B est un espace X muni d'une application continue $\pi : X\mapsto B$ appelée projection. B est appelé la base. Pour tout point $b\in B$ , on appelle fibre de X au dessus du point b et on note X(b) le sous espace (fermé) $\pi^{-1}(b)\subset B$ . On appelle section (continue) de X une application continue $\sigma : B\to X$ telle que $\pi\circ\sigma = Id_B$ .

Théorème : Soit p un homéomorphisme local dont toutes les fibres sont finies de même cardinal n, alors p est un revêtement fini.

[modifier] Produit fibré, Somme directe, Changement de base

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[modifier] Groupes discrets opérant proprement et librement

Soit G un groupe discret opérant proprement et librement sur un espace localement compact E, la projection $E\to E/G$ définit un revêtement de fibre G.

En particulier, si $Γ$ est un sous-groupe discret du groupe topologique G, la projection $G\to G/\Gamma$ est un revêtement de fibre $Γ$ .

[modifier] Construction de revêtements par recollement

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[modifier] Théorie des revêtements

[modifier] Morphismes et transformations de revêtements

Un morphisme d'espaces au dessus de B est une application $X\to X'$ qui commute avec les projections $π$ et $π'$ .

[modifier] Monodromie des lacets et relèvement des applications

Le groupe fondamental $π 1 (X, x)$ opère par une action de groupe à droite sur la fibre $π - 1 (x)$ .

[modifier] Revêtements galoisiens et groupe de Galois d'un revêtement

Un revêtement est dit galoisien (ou régulier ou normal) s'il est connexe par arcs et le groupe des automorphismes agit transitivement sur la fibre de chaque un point.

[modifier] Revêtements universels

Un revêtement universel d'un espace B est un revêtement galoisien E tel que tout revêtement soit isomorphe à un revêtement associé à E (non nécessairement connexe). C'est à dire que pour tout revêtement D de B, il existe un morphisme de E sur D. Deux revêtements universels sont isomorphes.

Théorème : Un revêtement simplement connexe E est un revêtement universel.

Théorème : Un espace (connexe par arcs) B admet un revêtement simplement connexe si et seulement si il est semi-localement simplement connexe.

[modifier] Classification des revêtements et théorie de Galois

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[modifier] Applications

[modifier] Graphes et groupes libres

Théorème : Tout sous-groupe d'un groupe libre est un groupe libre.

[modifier] théorème de Van Kampen

Voir l’article théorème de Van Kampen.

[modifier] Revêtements ramifiés et surfaces de Riemann

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[modifier] Revêtements des groupes topologiques

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[modifier] Bibliographie (en français)

Adrien Douady et Régine Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions]
Claude Godbillon, Éléments de topologie algébrique [détail des éditions]
Analyse complexe Dolbeault
Eléments d'Analyse, tome 3, Jean Dieudonné

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Sommaire

[modifier] Exemples

[modifier] Revêtement du cercle par une hélice

[modifier] les fonctions puissance

[modifier] l'application exponentielle

[modifier] la bande de Möbius

[modifier] Revêtement de l'espace projectif

[modifier] Constructions de revêtements et terminologie

[modifier] Espaces au dessus de B

[modifier] Produit fibré, Somme directe, Changement de base

[modifier] Groupes discrets opérant proprement et librement

[modifier] Construction de revêtements par recollement

[modifier] Théorie des revêtements

[modifier] Morphismes et transformations de revêtements

[modifier] Monodromie des lacets et relèvement des applications

[modifier] Revêtements galoisiens et groupe de Galois d'un revêtement

[modifier] Revêtements universels

[modifier] Classification des revêtements et théorie de Galois

[modifier] Applications

[modifier] Graphes et groupes libres

[modifier] théorème de Van Kampen

[modifier] Revêtements ramifiés et surfaces de Riemann

[modifier] Revêtements des groupes topologiques

[modifier] Bibliographie (en français)

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