Théorème de Ceva

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En géométrie, le théorème de Ceva, qui tient son nom du mathématicien italien qui l'a démontré, Giovanni Ceva, est un théorème qui donne une condition nécessaire et suffisante pour que trois droites passant par les trois sommets d'un triangle soit concourantes.

Un triangle dans lequel le théorème de Ceva s'applique.

[modifier] Énoncé

Dans le triangle ABC, soit trois droites quelconques passant chacune par un des sommets de ce triangle. La première passe par A et coupe le côté (BC) en D, la seconde passe par B et coupe le côté (AC) en E et la troisième passe par C et coupe le côté (AB) en F.

Les trois droites (AD), (BE) et (CF) sont concourantes si et seulement si

$\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}} = 1$

où les différentes longueurs sont comptées algébriquement.

[modifier] Démonstration

Il existe plusieurs démonstrations de ce théorème, chacune employant des méthodes d'un domaine des mathématiques différent. En voici une utilisant des barycentres.

Démonstration :

Soit M le point d'intersection des droites (AD) et (BE). Ce point M existe car les droites (AD) et (BE) ne sont pas paralléles.

M est le barycentre des points A, B et C affectés de trois coefficients inconnus $α$ , $β$ et $γ$ , avec $\alpha+\beta+\gamma \neq 0$ .

D'après le théorème d'associativité du barycentre, M est aussi le barycentre de $(A,α)$ et $(D,β + γ)$ . Or, D est également le barycentre de $(B,\overline{DC})$ et $(C,\overline{BD})$ . On en déduit, d'après l'homogénéité du barycentre, que $\frac{\gamma}{\beta} = \frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}$ .

Par un raisonnement similaire relativement à E, on obtient : $\frac{\alpha}{\gamma} = \frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}$ .

Les droites (AD), (BE) et (CF) sont concourantes si et seulement si M est également un barycentre de C et de F, c'est-à-dire, d'après le raisonnement précédent, si et seulement si $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}$ . Il suffit alors de multiplier les trois égalités trouvées pour obtenir la condition nécessaire et suffisante :

$\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}} \frac{\overline{CE}}{\overline{EA}} \frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}=1$

[modifier] Théorème trigonométrique de Ceva

Il existe également une version trigonométrique du théorème de Ceva, selon laquelle les droites (AD), (BE) et (CF) sont concourantes si et seulement si

$\frac{\sin\widehat{BAD}}{\sin\widehat{CAD}}\times\frac{\sin\widehat{ACF}}{\sin\widehat{BCF}}\times\frac{\sin\widehat{ CBE}}{\sin\widehat{ABE}}=1$

La démonstration est tout à fait similaire à celle de l'énoncé classique du théorème.

[modifier] Exemples d'application

Le théorème de Ceva permet de démontrer de nombreuses propriétés de droites concourantes.

On peut l'appliquer à un cas simple comme le point d'intersection des médianes. Dans ce cas, D est le milieu de [BC] et donc $\overline{BD} = \overline{DC}$ . De même pour les autres points. Tous les rapports intervenant dans le théorème valent 1, et donc leur produit aussi, ce qui prouve que les médianes d'un triangle sont concourantes.