Théorème de Gauss-Lucas
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En mathématiques, le théorème de Gauss-Lucas est un théorème utilisé en théorie des polynômes.
[modifier] Motivation
Il est facile de remarquer que si 
est un polynôme du second degré, le zéro de 
est la demi-somme des zéros de 
.
Par ailleurs, si un polynôme de degré 
à coefficients réels admet zéros distincts 
, on voit en utilisant le théorème de Rolle que les zéros du polynôme dérivé sont dans l'intervalle ![[x_1,x_n]\,](../../../math/e/1/5/e159e2c8ec171617a80546a9520d2c57.png)
.
Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation.
[modifier] Enoncé
Soit un polynôme non constant à coefficients complexes. Alors tout zéro de appartient à l'enveloppe convexe de l'ensemble des zéros de .
[modifier] Preuve
Soit 
la décomposition de en facteurs irréductibles : les complexes 
sont les zéros distincts du polynôme, les entiers 
leurs multiplicités.
On a alors
En particulier, si 
et 
,
ou encore 
ce qui s'écrit aussi
En prenant les conjugués, on voit que 
est un barycentre à coefficients positifs des .
Le cas où est aussi zéro de est évident.
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