Paradoxos de Zenón

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

Son unha serie de paradoxos, ideados por Zenón de Elea, para apoiar a doutrina de Parménides de que as sensacións que obtemos do mundo son ilusorias, e concretamente, que non existe o movemento.

Pertencen á categoría de paradoxos falsídicos, isto é, que non só atinxen un resultado que aparenta ser falso, senón que ademais o é. Isto débese a unha falacia no razoamento, producido pola falta de coñecementos sobre o concepto de infinito na época na que foron formuladas.

[editar] Aquiles e a tartaruga

Aquiles o guerreiro decide saír a competir nunha carreira contra dunha tartaruga. Xa que corre moito máis axiña que ela, e seguro das súas posibilidades, dálle unha vantaxe inicial. Ao dar a saída, Aquiles percorre en pouco tempo a distancia que os separaba inicialmente, mais ao chegar alí descobre que a tartaruga xa non está, senón que avanzou, máis lentamente, un pequeno treito. Sen se desanimar, sigue a correr, mais ao chegar de novo onde estaba a tartaruga, esta avanzou un pouco máis. Deste xeito, Aquiles non gañará a carreira, xa que a tartaruga estará sempre por diante de el.

Realmente, sábese que Aquiles atinxirá á tartaruga, xa que unha suma de infinitos termos pode ter un resultado finito. Os tempos nos que Aquiles percorre a distancia que lle separa do punto anterior no que se atopaba a tartaruga son cada vez máis e máis pequenos, e a súa suma dá un resultado finito, que é o momento en que atinxirá á tartaruga.

[editar] O lanzamento dunha pedra contra un árbore

Este paradoxo é unha variante da anterior.

Zenón está a oito metros dunha árbore. Chegado un momento, lanza unha pedra, tratando de dar na árbore. A pedra, para chegar ao obxectivo, ten que percorrer antes a primeira metade da distancia que lle separa del, é dicir, os primeiros catro metros, e tardará un tempo (finito) en facelo. Unha vez chegue a estar a catro metros da árbore, precisará percorrer os catro metros que lle quedan, e para iso debe percorrer primeiro a metade desa distancia. Mais cando estea a dous metros da árbore, botará un tempo en percorrer o primeiro metro, e logo o primeiro medio metro restante, e logo o primeiro cuarto de metro... Deste xeito, a pedra nunca chegará á árbore.

É posíbel utilizar este razoamento, de xeito análogo, para "demostrar" que a pedra nunca chegará a saír da man de Zenón.

Ao igual que no paradoxo de Aquiles e a tartaruga, é certo que a suma de distancias percorridas, (e tempos invertidos en facelo) é infinita, mais a súa suma é finita e por tanto a pedra chegará á árbore.

---

O paradoxo da pedra pode plantexarse matematicamente usando series infinitas. As series infinitas son sumatorias cuxo termo variante (que só pode tomar valores pertencentes ao conxunto de números naturais) vai ata o infinito. Para ter unha idea de que é unha serie, móstrase un par de series sinxelas e logo o paradoxo de Zenon cunha serie un pouco mais complexa.

Para sumar todos os números desde 1 a infinito

Para sumar todos os números ao cadrado desde 1 a infinito

Agora, para expoñer o paradoxo da pedra un fai unha serie que sume a metade, logo a metade da metade, logo a metade da metade da metade e así, ata o infinito

Como a serie que se plantea para o paradoxo da pedra é unha serie xeométrica, a súa suma pode ser calculada coa seguinte formula:

Suma =

Na sumatoria do paradoxo de Zenon, "a" é e r, é a razón de incremento incremento (produto), que é . Substituíndo eses valores na formula de suma tense:

Suma =

Entón vese que a suma da metade de "algo" mais a metade da metade de "algo" e así sucesivamente dá 1, "algo" completo. Para o paradoxo é o mesmo, a metade da distancia, mais a metade da metade da distancia e así sucesivamente dá a distancia enteira. Polo tanto podo concluír que, percorrendo infinitas metades podo percorrer toda a distancia.

[editar] O paradoxo da frecha

Neste paradoxo, lánzase unha frecha. En cada momento no tempo, a frecha está nunha posición específica, e se ese momento é o dabondo pequeno, a frecha non ten tempo para se mover, polo que está en repouso durante ese intre. Agora ben, durante os seguintes períodos de tempo, a frecha tamén estará en repouso polo mesmo motivo. De xeito que a frecha está sempre en repouso: o movemento é imposíbel.

Un xeito de resolvelo é observar que, a pesar de que en cada instante a frecha percíbese como en repouso, estar en repouso é un termo relativo. Non se pode xulgar, observando só un instante calquera, se un obxecto está en repouso. No canto diso, é necesario comparalo con outros instantes adxacentes. Así, se o comparamos con outros instantes, a frecha está en distinta posición da que estaba antes e na que estará despois. Polo tanto, a frecha estase movendo.