Relatividade Xeral

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

Einstein, autor da teoría da relatividade, 1947

En Física, a relatividade xeral é a xeneralización, publicada en 1915 por Albert Einstein, da Teoría da gravitación de Newton. Esta nova teoría , tendo en conta as ideas descobertas na Relatividade restricta sobre o espazo e o tempo, propón a xeneralización do principio da relatividade do movimento de referenciais en movimento uniforme para a relatividade do movimento mesmo entre referenciais en movimento acelerado. Esta xeneralización ten implicacións profundas no noso coñecimento do espazo tempo, levando entre outras conclusións á de que a materia (enerxía) curva o espazo e mailo tempo á súa volta. É dicir, a gravitación é un efecto da xeometria do espazo-tempo.

[editar] O Principio da Relatividade xeral

O postulado base da Teoría da Relatividade xeral especifica que son fisicamente equivalentes os sistemas acelerados e mailos sistemas submetidos a campos gravitacionais. Nas proprias palabras de Einstein no seu traballo de 1915:

Nós iremos polo tanto asumir a completa equivalencia física entre un campo gravitacional e a correspondente aceleración dun sistema de referencia. Esta hipótese estende o principio da relatividade especial para sistemas de referencia uniformemente acelerados.

Por este principio, unha persoa nunha sala pechada, acelerada por un foguete coa mesma aceleración que a da gravidade na Terra ( $9,79 m / s 2$ ) non podería descobrir se a forza que a prende ao chan ten orixe no campo gravitacional terrestre ou se é debida á aceleración da propria sala a través do espazo e vice-versa. Un persoa nunha sala en órbita ou caída libre en dirección a un planeta non saberá dicir por observación local se se atopa na órbita dun planeta ou no espazo profundo, lonxe de calquer corpo celeste.

Isto tamén implica, e este é o punto importante do principio anterior, que a masa que sofre os efeitos do campo gravitacional e mais a masa que aparece nas leis de movimento de Newton son a mesma constante. Isto pode parecer obvio a priori, mais notese que a masa nas leis de Newton é a que responde a forzas xerais e é responsable da inercia ao movimento. Por iso se cháma masa inercial. A outra masa, que aparece na lei da gravitación, acoplase con outras masas gravitacionais para criar a atracción gravitacional. Elas non teñen porqué ser a mesma, mais sonno, e isto é un resultado experimental. O principio da Relatividade Xeral ten, polo tanto, como consecuencia outro principio: a equivalencia entre masa gravitacional e inercial.

[editar] Introducción

Un dos descobrimentos máis importantes do século XX, feito por Einstein, é que podemos presentar os efeitos da gravitación na forma dunha xeometría cuatridimensional.

O primeiro descobrimento nesta dirección, feito por Minkowski baseandose no traballo de Einstein sobre a Relatividade restricta, foi a de que espazo e tempo son na verdade unha única entidade, á que chamamos hoxe espazo-tempo.

Das ideas que levaron á Relatividade restricta, sen dúbida a máis importante para entender o papel da gravitación na Física é a idea, chamada de principio de relatividade restrita, de que as leis da física deben ser escritas da mesma forma en referenciais en movimento uniforme relativo. Este principio debe ser obedecido por calquer lei da física que pretenda ser unha representación fiel dalgunha parcela da realidade.

Einstein supuxo que a gravidade, debido ao principio da equivalencia entre masa inercial e gravitacional, sería un tipo de forza inercial, isto é, do tipo que aparece en sistemas non inerciais (en movimento acelerado), como por exemplo a forza centrífuga nun carrusel.

Con esta idea en mente e xeneralizando a idea da Relatividade restrita, Einstein propuxo que:

'As leis da física deben ser escritas da mesma forma en calquer sistema de coordenadas, en movimento uniforme ou non.

A gravitación acoplase a todas as outras Teorías da Física por esta vía da invariancia baixo mudanza de coordenadas xeneralizadas.

Este é o conceito máis importante da Teoría. Dicir que unha sala en caída libre, un laboratorio en órbita da Terra ou nunha nave no espazo interestelar son referenciais equivalentes pode parecer estraño. Mais está a comunalidade de que nestes referenciais nen vostede, nen nengún obxecto, está sometido a forzas externas. Nen mesmo á forza da gravidade: cando se está en caída libre, non somos puxados pola gravidade, unha vez que no ambiente en caída libre nengún obxeto se move se non se aplica algunha forza sobre el, e esta é exactamente a definición dun referencial inercial. Chamamos a estes ambientes “ambientes de gravidade cero” e son moito máis comuns hoxe en día do que se pode imaxinar (se quixer realmente experimentar na pele as ideas desta Teoría vexa [1]).

Os laboratorios en órbita ou en caída libre son o que na Terra temos máis próximo a un referencial inercial ideal. Polo tanto, se fose necesario realizar un experimento nun lugar libre de forzas externas, hai dúas opcións na Terra: entrar nun avión, subir ata algunhas decenas de quilómetros de altura e deixarse cair en caída libre (dentro dun avión, nun voo parabólico, de forma que non se sufra o rozamento do ar), ou usar unha estación espacial en órbita. O Postulado da Relatividade Xeral é exactamente a formulación da idea de que nestes referenciais, ou en calquer outro no espazo profundo, lonxe de calquer corpo celeste, as leis da física deben ser as mesmas e deben de escribirse do mesmo xeito.

[editar] A ligación coa xeometria

Como disemos anteriormente, dentro do postulado da relatividade xeral, todos os referenciais físicos son localmente equivalentes. Entender por que se utiliza o termo localmente é simple: un observador en órbita ou no espazo profundo non ten como decidir por experimentación local se o seu referencial é inercial ou non. Mais se lle permitirmos analizar o espazo arredor seu, é obvio que diferenzas aparecerán. No primeiro caso, o observador, analisando arredor de si, reconocerá axiña que está en órbita dalgún corpo, pois o seu movimento non é rectilíneo nen uniforme con relación ás estrelas. O segundo poderá concluir que está en movimento rectilíneo uniforme con relación ás estrelas ao fundo.

Xeódesica no espazo-tempo dunha partícula parada nun punto do plano x-y

O punto importante é que o movimento natural detectado por un observador difere do observado por outro, a pesar de localmente eles concorden en relación ao tipo de referencial en que se encontran. Esta idea de movimento natural (que non causa o aparecimento de forzas externas no referencial local) é representada matematicamente polo conceito de xeodésica, isto é, a menor distancia entre dous puntos nunha xeometría calquera. Noutras palabras, se o seu movimento é unha xeodésica, localmente o seu referencial é inercial e, vice-versa: se localmente o seu referencial é inercial, o seu movimento deberá ser un xeodésica.

Podemos concluir, polo tanto, que, unha vez que as xeodésicas son diferentes, as xeometrias do espazo-tempo nos dous casos son diferentes. E como o que difere dun caso ao outro é a presenza dunha masa próxima, chegamos á conclusión que a diferenza na xeometria debe ser causada pola masa. Noutras palabras, a masa dun corpo altera a xeometria do espazo-tempo arredor seu. O Espazo-tempo aquí é mesmo o conceito da Relatividade restricta onde cada punto do espazo-tempo é descrito por 4 coordenadas: 3 de posición e unha de tempo. Unha xeodésica no espazo-tempo é unha curva especial descrita por estes 4 números.

A idea importante para entender a fundo os conceitos básicos da relatividade xeral é entender o que significa o movimento dun corpo neste espazo-tempo de 4 dimensións: non existe movimento espacial sen movimento temporal; isto é, no espazo-tempo non é posible que un corpo se mova nas dimensións espaciais sen se mover no tempo. Mais mesmo cando non nos movemos espacialmente, estamosnos movendo na dimensión tempo. Mesmo sentados agora lendo este artigo, estamosnos movendo no tempo, para o futuro. Este movimento é tan válido na xeometria do espazo-tempo como os que estamos afeitos a ver no noso día a día. Polo tanto, no espazo-tempo estamos sempre en movimento!, e a nosa idea de estar parado significa apenas que atopamos unha forma de non nos mover nas direcións espaciais senon só no tempo (vexa o exemplo deste tipo de xeodésica na figura ao lado).

Órbita xeódesica no espazo-tempo dunha partícula próxima a un corpo material

Imaxinemos agora un observador no espazo profundo. Supoña que está parado, isto é, nun movimento xeodésico en liña recta cara o futuro. Se agora colocarmos instantaneamente ao seu rente unha masa suficientemente grande, a deformación que esta masa causará no espazo-tempo na súa viciñanza curvará e alterará as coordenadas orixinais do espazo-tempo no lugar. O efeito é que aquel movimento que era só unha liña recta na dirección temporal tamén ocorrerá agora nas novas coordenadas espaciais. A liña curvase e enrolase en torno do corpo mentres el se move na direción do tempo futuro. E o noso observador comeza a moverse espacialmente debido á distorsión da xeometria causada pola masa, e non debido á presenza dunha forza. Isto era o efeito que se acostuma chamar de gravidade mais que, con esta teoría, é unha distorsión da xeometria do espazo-tempo debido á presenza dunha masa.

Nótese que é común representar a curvatura do espazo-tempo con figuras que representan unha membrana elástica formando pozos criados por masas pesadas sobre esa membrana. Esta representación é, como mínimo, fantasiosa, pois mostra só a curvatura espacial dun espazo de dúas dimensións, sen considerar o efeito do tempo. Dificilmente a podemos considerar unha boa representación do que realmente acontece. O exemplo presentado aquí dános unha forma de ver a curvatura a través de efeitos sobre as liñas xeodésicas:

En cada punto do espazo disparamos ou apenas soltamos unha pequena masa de proba e observamos a súa traxetoria. Dun punto do seu referencial inercial dispare unha masa en cada un dos seus eixos de coordenadas espaciais e observe: obviamente, se elas continuaren indefinidamente en liña reta, vostede estará nun espazo-tempo plano (espazo de Minkowski). Caso contrario, as traxetorias poderán lle dar informacións sobre a curvatura na rexión. Esta é a mellor maneira pola cal podemos esperar descreber un obxeto que posúe 4 dimensións para seres que viven en apenas 3 dimensións.

Unha representación fantasiosa da curvatura do espazo-tempo causada por unha masa

[editar] Xeometria do Espazo-tempo

É preciso esclarecer un punto anterior, mencionado de paso, mais que tivo consecuencias importantísimas. Dixemos que no espazo-tempo non lle é posible a un obxeto moverse nas direccións espaciais sen se mover tamén no tempo. O motivo é simple: no plano espacial, se un obxeto se move dun punto ao outro sen se mover na dirección temporal, a velocidade será infinita; por outra banda, da Teoría da Relatividade especial sábese que a maior velocidade posible para algo material, no noso universo, é a velocidade da luz. Polo tanto este postulado da Relatividade especial cria inmediatamente no noso espazo-tempo dúas rexións distintas: unha rexión a que podemos ter acceso, e rexións ás cais non podemos ter acceso inmediato. Isto é unha característica diferente dun espazo de 4 dimensións calquera, onde non temos restricción algunha entre as rexións do espazo, nen unha dirección especial.

A relatividade restricta, polo tanto, impón sobre a xeometria do espazo-tempo unha restricción fundamental e distinta do que esperaríamos dun espazo euclidiano de catro dimensións, por exemplo. Esta diferenza reflexase na estrutura básica da xeometria.

Podemos mostrar como estas diferenzas se reflexan na noción de distancia, que na Relatividade Especial se chama intervalo, para non evocar a mesma idea de distancia euclidiana. Se quisermos medir a distancia entre dous puntos nun espazo de 3 dimensións, usamos a fórmula de Pitágoras:

s 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 + (z 1 - z 2) 2

Incluindo o tempo para termos o espazo-tempo, poderíamos imaxinar unha fórmula equivalente para a distancia entre dous puntos:

s 2 = c 2 (t 1 - t 2) 2 + (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 + (z 1 - z 2) 2

Note que tivemos o cuidado de multiplicar o termo temporal por c, a velocidade da luz no vácuo, para termos un lonxitude, unha vez que non ten sentido somar tempo con distancia. Para puntos moi próximos (lembrese que temos que manter local a nosa análise para podermos garantir que estamos nun referencial inercial) podemos escreber.

$\Delta s^2 = c^2 (\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 = c^2 (\Delta t)^2 + (\Delta \vec{x} )^2$

Mais isto non reflxa a característica esencial do espazo-tempo que estamos discutindo. A distancia expresada na formula anterior é simplemente a distancia en espazo euclidiano de 4 dimensións. O que sabemos é que as velocidades espaciais posibles son sempre menores que a velocidade da luz:

$\left| \frac{d}{dt} \vec{x} \right| \leq c$

E isto, de certo xeito, debese reflexar na xeometria que estamos procurando. E está, como iremos demonstrar. Elevando ao cuadrado para eliminar o módulo, e reorganizando os termos, podemos escreber tal restricción como:

$(d \vec{x} )^2 \leq c^2 dt^2$

Repare que a expresión previa é o equivalente matemático do que acabamos de dicir: movimentos espaciais válidos deben ser menores que c dt para que a velocidade do movimento sexa menor que a da luz. Comparando esta expresión coa da distancia nun espazo euclidiano, dada mais enriba, vemos unha semellanza. Podemos entender agora que o termo ds :

$ds^2 = c^2 dt^2 - d \vec{x}^2 \geq 0$

pode ser utilizado como definición para o cálculo de intervalos no espazo-tempo.

Para completar, fainos falla agora entender como esta medida de intervalos pode ser xeneralizada para un sistema calquera de coordenadas.

[editar] Matemática da Relatividade Xeral

Para estender as leis da física ao contexto de sistemas de coordenadas xerais, debese dominar un extenso arsenal de ferramentas matemáticas. Mesmo na mecánica clásica, por exemplo, foron desenvolvidos unha cantidade enorme de traballos para traballaren os sistemas físicos en diversos sistemas de coordenadas: sistemas de coordenadas cartesianos, esféricas, cilíndricas, etc. A pesar dos nomes, nengún destes sistemas de coordenadas utilizados na Física Matemática é xeral abondo para causar alteración na xeometria. Son formas de aproveitar as simetrias do problema e axudan, polo tanto, a simplificar a solución. Na Relatividade Xeral precisamos extender este coñecimento ás transformacións de coordenadas que alteren a xeometria do espazo-tempo. Para isto son necesarias unha síntese e unha xeneralización deste coñecimento matemático nun novo cálculo, o Cálculo Tensorial. Por sorte, esta síntese estaba sendo criada polo matemático Tullio Levi-Civita, baseandose nos traballos anteriores de Hamilton e Gregorio Ricci-Curbastro, na mesma época en que Einstein iniciou seu traballo na Relatividade Xeral. De feito, Einstein aprendeu os conceitos directamente de Levi-Civitta.

Con esta ferramenta nova, podemos xeneralizar o conceito de cálculo de intervalos do espazo-tempo, introducindo o tensor métrico para o espazo-tempo:

$\frac{}{} ds^2 = g_{ix} dx^i dx^x$

A notación con índices, chamada notación clásica do cálculo tensorial, posúe a convención de que índices repetidos, un superior e outro inferior, representan unha soma no conxunto de índices. No noso caso estes índices varian de 0 ata 3 para representar o tempo (índice 0), e as coordenadas espaciais. Esta é a mesma expresión que obtivemos anteriormente se escrebermos o tensor $\frac{}{} g_{ix}$ de forma matricial como:

$g= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{bmatrix}$

O punto importante a entender aquí é que, no espazo-tempo curvo, o tensor métrico non posúe máis seus elementos constantes como na formula mais enriba. Pasan a ser funcións das coordenadas espazo-temporais que conteñen informacións sobre a xeometria local. Mesmo así, a expresión para o cálculo de intervalos aínda continua sendo escrita da mesma forma. E isto reflexa a idea básica do cálculo tensorial: permitir escreber calquer ecuación independentemente do sistema de coordenadas utilizado.

O Tensor métrico é a peza fundamental da teoría da Relatividade Xeral e é un tensor simétrico, isto é $g i x = g x i$ . Isto significa que en vez de termos 16 componentes $g i x$ , temos apenas 10 componentes independentes.

O tensor métrico posúe informacións non só sobre como se calculan as distancias, mais como se realizan outras operacións xeométricas en espazos curvos, como o transporte paralelo de vectores e outros obxetos matemáticos. É a través del que se obtén a expresión para a curvatura do espazo-tempo e se obtén o Tensor de Einstein, utilizado na ecuación da Relatividade Xeral, que sumariza a interacción da xeometria coa materia:

$G_{ix} = R_{ix} - {R \over 2} g_{ix} + \Lambda g_{ix} = {8 \pi G \over c^4} T_{ix}$

onde $G i x$ é o tensor de Einstein, $R i x$ son as componentes do Tensor de curvatura de Ricci, $R$ é a Curvatura escalar, $g i x$ son as componentes do tensor métrico, $Λ$ é a Constante cosmolóxica, $T i x$ son as componentes do Tensor de tensión-enerxía que descrebe a materia e enerxía nun dado punto do espazo-tempo e $G$ é a Constante de gravitación, a mesma da lei de Newton da gravidade. O Tensor de Ricci e maila Curvatura Escalar son derivados do tensor métrico, como foi dito enriba.

[editar] Solucións da Ecuación de Einstein

A primeira solución exacta da ecuación de Einstein foi proposta por Karl Schwarzschild na chamada Métrica de Schwarzschild, e é a solución para o caso dunha masa esférica estacionaria, isto é, sen rotación da masa. Esta foi tamén a primeira solución na cal se obtiveron Furado negros como parte do resultado.

As solucións da ecuación de Einstein son obtidas a partir dunha determinada métrica. Propor unha métrica correta é unha parte importante e difícil do problema. Estas son algunhas das solucións coñecidas da Ecuación de Einstein:

Métrica de Schwarzschild.
Métrica de Kerr, que descrebe o caso dunha masa xirante esférica.
Métrica de Reisner-Nordstron, para o caso dunha métrica esférica con carga elétrica.
Métrica de Kerr-Newman, para o caso dun masa xirante con carga elétrica.
Métrica Friedmann-Robertson-Walker (FRW), usada en cosmoloxía como modelo dun universo en expansión.
Métrica de ondas-pp que descrebe varios tipos de ondas gravitacionais.
Métrica de worm holes, ou furados de miñoca, usada para descreber viaxes no tempo.

As solucións (1), (2), (3) e (4) incluen furados negros como parte do resultado.

[editar] Antecedentes

Aínda que a moderna teoría se débe a Einstein, as súas orixes atópanse nos axiomas da Xeometría Euclídea e os moitos intentos de probar, ó largo dos séculos, o Quinto postulado de Euclides, (que di que as liñas paralelas permanecen sempre equidistantes), e que culminaron coa constatación por Bolyai e Gauss de que este axioma non é necesariamente certo. As matemáticas xerais da Xeometría non Euclídea desenvolveunas Riemann, discípulo de Gauss, pero non foi ata despois de que Einstein desenvolveu a teoría da Relatividade Especial que a xeometría non euclídea do espazo e o tempo foi coñecida.

Gauss demostrou que non hai razón para que a xeometría do espazo deba ser euclídea, o que significa que se un físico pon unha marca, e un cartógrafo permanece a una certa distancia e se mide a súa lonxitude por triangulación baseada na xeometría euclidiana, entón non está garantido que se dea a mesma resposta se o físico porta a marca consigo e mide a sua lonxitude directamente. Por suposto, para unha marca non podería medirse na práctica a diferencia entre as dúas medidas, pero existen medidas equivalentes que deben de detectar a xeometría non euclidiana do espazo-tempo directamente, por exemplo o experimento de Pound-Rebka (1959) detectou o cambio na lonxitude de onda da luz dunha fonte de cobalto xurdindo por 22.5 metros contra a gravidade nun local do Laboratorio de Física Jefferson na Universidade de Harvard, e a cadencia dun reloxo atómico nun satélite GPS arredor da Terra ten que ser corrixida por efecto da gravidade.

Traído desde "http://gl.wikipedia.org../../../r/e/l/Relatividade_Xeral_c81c.html"

Categorías: Física | Relatividade | Astronomía