אגד וקטורי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

יש לפשט ערך זה
הערך מנוסח באופן טכני מידי, וקשה להבנה לקהל הרחב. יש להוסיף לערך זה מבוא אינטואיטיבי שיסביר את הרעיונות והמושגים בערך בצורה פשוטה יותר, רצוי בליווי דוגמאות. אם אתם סבורים כי הערך אינו ברור דיו או שיש נקודה שאינכם מבינים בו, ציינו זאת בדף השיחה שלו. יש לציין כי ערכים מדעיים רבים מצריכים רקע מוקדם.

במתמטיקה, אגד וקטורי הוא בניה גאומטרית אשר מגדירה באופן מדויק את הרעיון של משפחה של מרחבים וקטורים ה"משתנים" בצורה רציפה או חלקה. לכל נקודה x במרחב X אנחנו משייכים מרחב וקטורי (V(x בצורה כזאת שאוסף המרחבים הווקטורים הזה יוצר בעצמו מרחב מאותו הסוג של X (למשל מרחב טופולוגי, יריעה חלקה וכו') שנקרא אגד וקטורי מעל X.

הדוגמה הפשוטה ביותר היא משפחה קבועה של מרחבים וקטורים, כלומר, יש מרחב וקטורי קבוע V כך שלכל x ב X מתקיים V(x) = V. במקרה זה יש עותק של V לכל נקודה בX, ועותקים אלו יוצרים את האגד הווקטורי X×V מעל X. אגד כזה נקרא אגד טריוויאלי.

דוגמה מעט מסובכת יותר היא האגד המשיק של יריעה חלקה X: לכל נקודה ביריעה כזאת מתאימים את המרחב המשיק באותה נקודה. האגד המשיק הוא בדרך כלל לא אגד טריוויאלי.

תוכן עניינים

1 הגדרה פורמלית
- 1.1 אגד וקטורי חלק
- 1.2 אגד קווי
2 דוגמאות
3 חתך של אגד וקטורי
4 מורפיזמים
5 לקריאה נוספת

[עריכה] הגדרה פורמלית

יהי X מרחב טופולוגי. אגד וקטורי (רציף) E מעל X ממימד r הוא מרחב טופולוגי E, ביחד עם העתקה רציפה $\pi:E \mapsto X$ כך ש $π$ היא העתקה על, וכך שמתקיימים התנאים הבאים:

לכל $x\in X$ לקבוצה $\ \pi^{-1}(x)$ יש מבנה של מרחב וקטורי ממימד r.
לכל נקודה $x\in X$ קיימת קבוצה פתוחה U המכילה את X והומיאומורפיזם $\phi:U\times \mathbb{R}^r \mapsto \pi^{-1}(U)$ כך שמתקיים:

$\pi \circ \phi(y,v) = y$ לכל $y\in U$ ולכל $v \in \mathbb{R}^r$ .
הפונקציה $v \mapsto \phi(y,v)$ היא איזומורפיזם של המרחבים הווקטורים $\mathbb{R}^r$ ו- $\ \pi^{-1}(y)$ לכל $y \in U$

הפונקציה

φ

תיקרא טריוויאליזציה מקומית של האגד E. הרעיון הבסיסי הוא שהאגד E נראה באופן מקומי בדיוק כמו $U \times \mathbb{R}^r$ , אך באופן גלובלי האגד משתנה בצורה רציפה כך שאינו טריוויאלי.

[עריכה] אגד וקטורי חלק

נניח כעת ש-X היא יריעה דיפרנציאלית. על מנת שE לעיל יקרא אגד וקטורי חלק נדרוש בנוסף את התנאים הבאים:

לE מבנה של יריעה דיפרנציאלית.
ההעתקה $\pi:E \mapsto X$ היא פונקציה חלקה של יריעות.
בהינתן שתי קבוצות פתוחות $U,V \subseteq X$ עם חיתוך לא ריק, וטריוויאליזציות מקומיות $φ U,φ V$ הפונקציה $\phi_U\circ{\phi_V}^{-1}:(U\cap V)\times \mathbb{R}^r \mapsto (U\cap V)\times \mathbb{R}^r$ היא מהצורה $\phi_U \circ {\phi_V}^{-1}(x,v) = (x,f_{U,V}(x)\cdot v)$

כאשר נדרוש שהפונקציה $f_{U,V}:U \cap V \mapsto M_{r}(\mathbb{R})$ היא פונקציה חלקה.

באופן דומה ניתן להגדיר אגד וקטורי אנליטי (הולומורפי) מעל יריעה אנליטית.

[עריכה] אגד קווי

אגד וקטורי ממימד 1 נקרא אגד קווי (Line bundle).

[עריכה] דוגמאות

לכל מרחב טופולוגי X קיים האגד הטריוויאלי $X \times \mathbb{R}^r$ ביחד עם פונקציית הזהות כטריוויאליזציה בודדת.
האגד המשיק ליריעה דיפרנציאלית הוא דוגמה לאגד חלק.

[עריכה] חתך של אגד וקטורי

תהי X יריעה דיפרנציאלית ויהי $\pi:E \mapsto X$ אגד וקטורי חלק מעל X. בהינתן קבוצה פתוחה U בX, חתך של E מעל U הוא פונקציה חלקה $f:U \mapsto E$ כך שלכל $x \in U$ הערך $\ f(x)$ שייך לסיב $E x$ . במילים אחרות, לכל $x \in U$ מתקיים $\pi \circ f(x) = x$ . נשים לב שניתן לחבר 2 חתכים מעל קבוצה פתוחה U, וכן להכפיל חתך בסקלר, ולפיכך לאוסף החתכים מעל קבוצה פתוחה יש בעצמו מבנה של מרחב וקטורי. למעשה, ההתאמה המתאימה לכל קבוצה פתוחה U את אוסף החתכים מעל U מהווה אלומה. ניתן להוכיח שאלומה זאת מגדירה את האגד הווקטורי E באופן יחיד, ולפיכך ניתן לזהות את האגד הווקטורי E עם אלומת החתכים שלו, ובכך לראות בכל אגד וקטורי מקרה פרטי של אלומה של מרחבים וקטורים.

חתך חלק של האגד המשיק של יריעה חלקה נקרא שדה וקטורי.

[עריכה] מורפיזמים

יהיו $X 1$ ו- $X 2$ יריעות דיפרנציאלית. בהינתן שני אגדים וקטורים חלקים $\pi_1:E_1 \mapsto X_1$ ו- $\pi_2:E_2 \mapsto X_2$ , מורפיזם של אגדים וקטורים $f:E_1 \mapsto E_2$ הוא פונקציה חלקה f בין היריעות $E 1$ ו- $E 2$ ופונקציה חלקה $g:X_1 \mapsto X_2$ כך ש: