אלומה (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, אלומה (Sheaf) היא אמצעי לבטא קשרים בין תכונות מקומיות של מרחבים לבין תכונות גלובליות שלהם. בהינתן מרחב טופולוגי X, אלומה F מתאימה לכל קבוצה פתוחה U של X מידע כלשהו (F(U (המידע יכול להיות קבוצה, חבורה, חוג, מודול או אלגברה)

לעתים קרובות המידע מתאר מבנים גאומטרים אשר מוגדרים על קבוצות קטנות יחסית של המרחב, כגון פונקציות רציפות, תבניות דיפרנציאליות וכו'. מקובל לסמן אלומות באות F, עקב המילה הצרפתית לאלומה - faisceau.

לאלומות תפקיד חשוב בפיתוחה של הגאומטריה האלגברית המודרנית. חשיבותן של אלומות בגאומטריה המודרנית היא כה רבה עד שכלל לא ניתן להגדיר את האובייקטים הבסיסיים של הגאומטריה האלגברית המודרנית (סכמות) מבלי להשתמש בשפה של אלומות. מבחינה היסטורית, אלומות הופיעו לראשונה בהקשר של המשכה אנליטית. אלומות שימושיות במיוחד בגאומטריה (במיוחד גאומטריה דיפרנציאלית וגאומטריה אלגברית) ובטופולוגיה.

[עריכה] הגדרה פורמלית

אלומה היא קדם אלומה המקיימת את אקסיומת ההדבקה (שתוגדר לעיל), לפיכך נפתח בהגדרה של קדם אלומה. ההגדרה תעסוק באלומה של חוגים, כאשר אלומות של מבנים אלגברים אחרים מוגדרות בצורה אנלוגית.

[עריכה] קדם אלומה

בהינתן מרחב טופולוגי X, פונקציה F המתאימה לכל קבוצה פתוחה U ב-X חוג (F(U תיקרא קדם אלומה אם היא מקיימת:

$F(\empty)=\{0\}$
בהינתן שתי תת קבוצות פתוחות $V \subseteq U$ קיים הומומורפיזם של חוגים $\mbox{res}_{U,V}:F(U) \mapsto F(V)$ הנקרא הומומורפיזם הצמצום.
לכל קבוצה פתוחה U מתקיים ${\mbox{res}_{U,U}}=1_{F(U)}\,$
אם $U \subseteq V \subseteq W$ קבוצות פתוחות ב-X אז מתקיים res_{V,U_{o res_W,V = res_W,U. במילים אחרות - אם מצמצמים מ-W ל-V ואת התוצאה מצמצמים מ-V ל-U, מקבלים את אותה התוצאה כמו לצמצם מ-W ל-U.}}

בשפה של תורת הקטגוריות ניתן להגדיר קדם אלומה בצורה הבאה: בהינתן מרחב טופולוגי X, נסתכל על הקטגוריה (שתסומן גם כן X), אשר האובייקטים שלה הם כל הקבוצות הפתוחות בX, והמורפיזמים בה הם הכלות של קבוצות. פונקטור קונטרה-וארינטי מהקטגוריה X לקטגוריה של חוגים יקרא קדם אלומה של חוגים.

[עריכה] אקסיומת ההדבקה

קדם אלומה F תיקרא אלומה אם בנוסף לתנאים לעיל מתקיים תנאי ההדבקה הבא: תהי $\{U_i\}_{i \in I}$ משפחה של קבוצות פתוחות ב-X. ונניח שלכל אינדקס i נתון לנו אובייקט $f_i \in F(U_i)$ . לכל זוג אינדקסים i,j נסמן $U_{i,j} = U_i \cap U_j$ . נניח שלכל i ו j מתקיים התנאי: $\mbox{res}_{U_i,U_{i,j}}(f_i) = \mbox{res}_{U_j,U_{i,j}}(f_j)$ . במקרה זה, נאמר שתנאי אקסיומת ההדבקה מתקיימים והאקסיומה מבטיחה לנו קיומו של "אובייקט גלובלי" יחיד $f \in F(U)$ , כאשר $U=\bigcup_{i \in I} U_i$ כך שלכל i מתקיים $\mbox{res}_{U,U_i}(f) = f_i$

קדם אלומה F המקיימת את אקסיומת ההדבקה תיקרא אלומה.

[עריכה] חתך מעל קבוצה פתוחה

בהינתן קבוצה פתוחה $U \subseteq X$ , איבר $s \in F(U)$ נקרא חתך מעל U. חתך מעל X (כלומר, איבר $s \in F(X)$ ) נקרא חתך גלובלי.

[עריכה] דוגמאות

בהינתן מרחב טופולוגי X, הפונקציה המתאימה לכל קבוצה פתוחה U את אוסף הפונקציות הרציפות מ-U לקבוצת המספרים הממשיים מהווה אלומה. פעולות החוג הן פעולות כפל וחיבור נקודתיות, והומומורפיזמי הצמצום הם פשוט צמצום טווחה של פונקציה במובן הרגיל של המילה. מאנליזה ידוע כי ניתן להדביק פונקציות רציפות המזדהות על החיתוכים, ולכן אוסף הפונקציות הרציפות על כל קבוצה פתוחה מהווה אלומה.
בהינתן יריעה דיפרנציאלית X, הפונקציה המתאימה לכל קבוצה פתוחה את אוסף הפונקציות החלקות עליה מהווה גם היא אלומה.
באופן דומה, בהינתן יריעה אנליטית X, ניתן להגדיר את אלומת הפונקציות האנליטיות על X.
בהינתן יריעה X ואגד וקטורי E מעל X, הפונקציה שמתאימה לכל קבוצה פתוחה U את אוסף החתכים של E מעל U היא אלומה.
בהינתן מרחב טופולוגי X וחוג R, אוסף כל הפונקציות מקבוצה פתוחה U לR מהווה אלומה. גם במקרה זה, הומומורפיזמי הצמצום הם פשוט צמצום הטווח של פונקציה נתונה.
האלומה הקבועה: יהי X מרחב טופולוגי וR חוג. לכל קבוצה פתוחה U בX נתאים את אוסף הפונקציות מU לR אשר קבועות על כל רכיב קשירות של U. הומומורפיזמי הצמצום יהיו שוב צמצום של פונקציות. נשים לב שאם U תת קבוצה קשירה אז החוג המתאים לה איזומורפי לR. אלומה זאת נקראת האלומה הקבועה R, ונהוג לסמנה באותו סימון כמו החוג - R.

[עריכה] נבט של אלומה

יהי X מרחב טופולוגי, x נקודה בX, וF אלומה על X. ברצוננו להגדיר חוג אשר יבטא את התכונות של האלומה F בקרבת הנקודה x. על מנת לעשות זאת באופן מדויק, נגדיר חוג אשר יקרא הנבט של F ב x ויסומן ב $\mathcal{F}_x$ באופן הבא: איברי החוג יהיו מחלקות שקילות מהצורה $(s, U)$ כאשר U קבוצה פתוחה של X המכילה את x ו $s \in F(U)$ . נזהה שני איברים $(s, U)$ ו- $(t, V)$ אם קיימת קבוצה פתוחה $W\subseteq U,V$ המכילה את x, כך שהצמצום של s לW שווה לצמצום של t לW. בהינתן שתי מחלקות שקילות $(s, U)$ ו- $(t, V)$ נגדיר חיבור באופן הבא: $(s,U) + (t,V) = (s+t,U \cap V)$ (כאשר מצמצמים את s ו t לחיתוך). כפל יוגדר בצורה אנלוגית, ובאופן זה נקבל חוג הקרוי הנבט של F ב x. הערה: במינוח האלגברי של גבול ישר ניתן להגדיר את הנבט של F בx כתור הגבול הישר ביחס לכל החוגים $F (U)$ כאשר עוברים על כל הקבוצות הפתוחות U המכילות את x, ביחס להומומורפיזמי הצמצום.

בדרך כלל הנבט של אלומה מכיל אך ורק מידע מקומי. כך למשל הדבר במקרה של אלומת הפונקציות החלקות על יריעה דיפרנציאלית, אך לעתים קורה שהנבט מכיל מידע שאינו בהכרח מקומי. לדוגמה, מאחר שפונקציה אנליטית בקבוצה פשוטת קשר נקבעת ביחידות על ידי הנבט שלה, הרי שהנבט של אלומת הפונקציות האנליטיות על יריעה אנליטית מכילה מידע רב שאינו מקומי.

[עריכה] הומומורפיזם של אלומות

בהינתן שתי אלומות $\mathcal{G}$ ו- $\mathcal{F}$ על מרחב טופולוגי X, הומומורפיזם $\phi: \mathcal{G} \to \mathcal{F}$ הוא כלל המתאים לכל קבוצה פתוחה U ב-X הומומורפיזם $\phi(U) : \mathcal{G}(U) \to \mathcal{F}(U)$ כך שהומומורפיזמים אלו מתחלפים עם הומומורפיזמי הצמצום של $\mathcal{F}$ ו- $\mathcal{G}$ . במילים אחרות, בהינתן 2 קבוצות פתוחות $U\subseteq V$ ב-X, הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית:

לכל נקודה x בX הומומורפיזם של אלומות משרה הומומורפיזם מתאים של הנבטים $\phi_x:\mathcal{G}_x\mapsto \mathcal{F}_x$

[עריכה] חד חד ערכיות

נאמר שמורפיזם של אלומות $\phi: \mathcal{G} \mapsto \mathcal{F}$ הוא חד חד ערכי אם לכל נקודה x ולכל קבוצה פתוחה U המכילה את x קיימת קבוצה פתוחה $V \subseteq U$ המכילה את x כך ש $φ(V)$ היא פונקציה חד חד ערכית. ניתן להוכיח שדרישה זו שקולה לכך שלכל קבוצה פתוחה U הפונקציה $φ(U)$ היא חד חד ערכית.

[עריכה] על

נאמר שמורפיזם של אלומות $\phi: \mathcal{G} \mapsto \mathcal{F}$ הוא על אם לכל נקודה x ולכל קבוצה פתוחה U קיימת קבוצה פתוחה $V \subseteq U$ המכילה את x כך ש $φ(V ($ היא פונקציה על. אזהרה: במקרה זה אין זה נכון שדרישה זו שקולה לכך שתנאי זה יתקיים לכל קבוצה פתוחה U.

[עריכה] איזומורפיזם

הומומורפיזם של אלומות שהוא גם חד חד ערכי וגם על יקרא איזומורפיזם. אם $φ$ הוא איזומורפיזם של אלומות, קל לראות שההומומורפיזם שהוא משרה על הנבטים $\phi_x:\mathcal{G}_x \mapsto \mathcal{F}_x$ הוא איזומורפיזם לכל x.

[עריכה] ראו גם

מרחב מחויג

[עריכה] לקריאה נוספת

Algebraic curves and Riemann Surfaces - Rick Miranda, AMS press 1995

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%90/%D7%9C/%D7%95/%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%9E%D7%94_%28%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94%29.html

קטגוריות: טופולוגיה | גאומטריה | גאומטריה דיפרנציאלית | גאמוטריה אלגברית | תורת האלומות