אנטרופיה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ערך זה עוסק באנטרופיה בפיזיקה. לערך העוסק בפירושים אחרים למושג "אנטרופיה", ראו אנטרופיה (פירושונים).

אנטרופיה - מושג פיזיקלי. בתרמודינמיקה הוא קשור למעבר חום. במכניקה סטטיסטית הוא מכמת את "אי הסדר" במערכת. בשני המקרים, החוק השני של התרמודינמיקה קובע שסך האנטרופיה במערכת סגורה לא יכול לקטון. המושג אנטרופיה נמצא בשימוש גם בתורת האינפורמציה.

תוכן עניינים

1 בתרמודינמיקה
2 במכניקה סטטיסטית
- 2.1 במערכת שיכולה להיות במצבים שונים
3 אנטרופיה של חורים שחורים
4 קישורים חיצוניים

[עריכה] בתרמודינמיקה

מושג האנטרופיה קשור למעבר חום, ולכן בתרמודינמיקה הקלאסית מוגדר רק השינוי $\ \delta S$ בכמות האנטרופיה של מערכת, בעזרת כמות החום $\ \delta Q$ שהמערכת מקבלת (או מאבדת, בהתאם לסימן), והטמפרטורה המוחלטת של המערכת $\ T$ :

$\delta S = \frac{\delta Q}{T}$

הערה - חשוב לציין שמדובר בשינוי דיפרנציאלי של אנטרופיה ולא באנטרופיה עצמה. אם החום עובר בין שתי מערכות באותה טמפרטורה, האנטרופיה שהמערכת הראשונה מוסרת שווה לאנטרופיה שהמערכת השנייה מקבלת, והתהליך הוא הפיך (רברסבילי). אולם לרוב החום זורם ממערכת בטמפרטורה גבוהה $\ T_{h}$ , למערכת בטמפרטורה נמוכה $\ T_{l}$ . לכן האנטרופיה שהמערכת בטמפרטורה הנמוכה מקבלת:

$\ \delta S_l = \frac{\delta Q}{T_l}$

גדולה מהאנטרופיה שהמערכת בטמפרטורה הגבוהה מאבדת:

$\ \delta S_h = \frac{\delta Q}{T_h}$

כלומר האנטרופיה הכוללת גדלה:

$\Delta S = \delta S_l - \delta S_h = \delta Q \left( \frac{1}{T_l}-\frac{1}{T_h} \right) >0$

זהו למעשה החוק השני של התרמודינמיקה, שקובע שסה"כ האנטרופיה במערכת מבודדת יכולה להשאר קבועה או לגדול. משמעותו של חוק זה היא שחום לא יכול לזרום באופן ספונטאני בין מערכת בטמפרטורה נמוכה למערכת בטמפרטורה גבוהה. הבנה יותר עמוקה של הסיבות לכך, כמו גם של מושג האנטרופיה עצמו, הושגה רק עם פיתוח המכניקה הסטטיסטית.

מושג האנטרופיה והחוק השני נותנים את ההגבלה על היעילות של מנוע חום, שניתנת על ידי חוק קרנו.

[עריכה] במכניקה סטטיסטית

מושג האנטרופיה עומד בבסיס המכניקה הסטטיסטית. לודוויג בולצמן קשר אותה למספר המצבים המיקרוסקופיים השונים $\ \Omega$ שיכולים לתת אותו מצב מקרוסקופי:

$\ S = k_{\!B} \ln \Omega$

כאשר k_B הוא קבוע בולצמן.

לדוגמה נסתכל על ארבעה מטבעות ממוספרים שיכולים להיות ב"עץ" או ב"פאלי". כל מצב מקרוסקופי יאופיין על ידי סה"כ מספר המטבעות שנמצאים ב"עץ". מצב מיקרוסקופי יאופיין על ידי איזה צד כל אחד מהמטבעות נמצא בו:

מצב מקרוסקופי	0 עץ 4 פלי	1 עץ 3 פלי	2 עץ 2 פלי	3 עץ 1 פלי	4 עץ 0 פלי
מצבים מיקרוסקופיים	פפפפ	עפפפ פעפפ פפעפ פפפע	עעפפ עפעפ עפפע פעעפ פעפע פפעע	עעעפ עעפע עפעע פעעע	עעעע
Ω	1	4	6	4	1

באופן אינטואיטיבי, אנו מרגישים שבמצב המקרוסקופי "2 עץ, 2 פאלי" יש יותר "אי סדר" מאשר במצב "0 עץ 4 פאלי". ואכן ההגדרה של בולצמן לאנטרופיה מכמתת הרגשה זו.

למרות שבמערכות בהן עוסקת המכניקה הסטטיסטית, מדובר על מספר חלקיקים גדול הרבה יותר, בסביבות מספר אבוגדרו, אפשר להשתמש בדוגמה פשוטה זו בשביל להדגים גם את החוק השני של התרמודינמיקה, על ידי שניקח שתי מערכות כאלה ונחבר אותן. אם שתי המערכות היו מלכתחילה כל אחת במצב המקרוסקופי "2 עץ, 2 פאלי" , הרי עכשיו המערכת המאוחדת תהיה במצב המקרוסקופי "4 עץ, 4 פאלי".

$S_{12} = k_{\!B} \ln {8 \choose 4} = k_{\!B} \ln 70 \approx 2 k_{\!B} \ln {4 \choose 2} = S_1 + S_1$ .

זו דוגמה למצב בו האנטרופיה לא השתנתה (השינוי הקטן שקיים, הוא בגלל שכאמור המערכות בדוגמה לא מספיק גדולות).

לעומת זאת, אם חיברנו מערכת במצב "0 עץ 4 פאלי" למערכת במצב "4 עץ 0 פאלי", שוב נקבל מערכת מאוחדת במצב "4 עץ, 4 פאלי". אולם הפעם:

$S_{12} = k_{\!B} \ln {8 \choose 4} = k_{\!B} \ln 70 >> 2k_{\!B} \ln {4 \choose 0} = S_1 + S_1$ .

כלומר האנטרופיה גדלה. יתר על כן, השינוי הזה הוא בלתי הפיך. אם עכשיו ניקח את המערכת הגדולה, ונחלק אותה חזרה לשתי מערכות קטנות באופן אקראי, רוב הסיכויים הם שבכל אחת מהמערכות הקטנות נקבל את המצב בו האנטרופיה היא מקסימלית. כך בדוגמה שלפנינו יש סיכוי של 1:16 לקבל בחזרה את המצב המקורי לעומת 6:16 לקבל בכל אחד מצב "2 עץ, 2 פאלי". במערכות גדולות יותר, בהן יש למשל 2N מטבעות מירב הסיכויים הם לקבל בצורה כזו עבור מספר מטבעות ה"עץ" ערך בסביבה

$N \pm \sqrt N$ .

דוגמה יותר ריאליסטית היא של שני מכלי גז בטמפרטורות שונות. נחבר ביניהם, וניתן למערכת להגיע לשיווי משקל. אי אפשר יהיה על ידי חלוקה של המערכת לשניים בחזרה להגיע להפרש הטמפרטורות, אלא אם כן ישב שד מקסוול במעבר ביו שני חלקי המערכת וייתן רק למולקולות איטיות לעבור מימין לשמאל, ורק למהירות לעבור משמאל לימין.

[עריכה] במערכת שיכולה להיות במצבים שונים

מקרה חשוב הוא מקרה של מערכת שיכולה להיות במצבים שונים. לדוגמה אטום בו האלקטרון יכול להיות בכל אחת מרמות האנרגיה של האטום. הסיכוי להיות במצב $\ r$ נתון על ידי $\ P_{r}$ . בשביל לחשב את האנטרופיה של המערכת צריך לחשוב על צבר של $\ N$ מערכות זהות (כאשר $\ N$ גדול מאוד). מספר המערכות $\ N_{r}$ שנמצאות במצב $\ r$ הוא:

$N_r \approx N P_r$

על פי הגדרת האנטרופיה במכניקה הסטטיסטית, האנטרופיה של הצבר כולו תחושב על פי מספר האפשרויות השונות בו ניתן לסדר אותו כך שאכן בכל מצב יהיו N_r מערכות:

$S_{ens} = k_{\!B} \ln \frac{N!}{ \prod_{r}N_r!}$

על ידי שימוש בקירוב סטירלינג

$\ln {n!} \approx n \ln{n} -n$

מתקבל הביטוי שמביע את האנטרופיה של המערכת על ידי הסיכוי שלה להיות בכל אחד מהמצבים

$S =\frac{ S_{ens}}{N}= - \sum_{r} P_r \ln{P_r}$

האנטרופיה היא אפס כאשר המערכת נמצאת בודאות במצב אחד, והיא הגבוהה ביותר כאשר הסיכוי להיות בכל מצב הוא שווה.

[עריכה] אנטרופיה של חורים שחורים

גם לחור שחור צריכה להיות אנטרופיה. אחרת אפשר יהיה לזרוק לתוכו חומר שלו אנטרופיה גבוהה, ובכך להוריד את האנטרופיה הכוללת ביקום, בניגוד לחוק השני של התרמודינמיקה. הפיזיקאי הישראלי יעקב בקנשטיין היה הראשון שהציע בשנת 1970 לייחס אנטרופיה לחור שחור. הוא הציע, על סמך הגילוי של סטיבן הוקינג כי השטח הכולל של אופק האירועים כתוצאה של מיזוג בין חורים שחורים לא יכול לקטון, שהאנטרופיה של חור שחור פרופורציונלית לשטח אופק האירועים שלו.

בתחילה התקבלה טענתו בביטול בקהילייה המדעית, כולל על ידי הוקינג, שכן אם לחור שחור יש אנטרופיה, צריכה להיות לו גם טמפרטורה, ואז הוא צריך לקרון כמו גוף שחור. אולם ב-1975 הוקינג גילה כי חור שחור יכול לפלוט קרינה, תוצאה של זוגות חלקיקים וירטואלים שנוצרים קרוב לפני אופק האירועים שלו. קרינה זו נקראת קרינת הוקינג. החיישובים הראו שקרינה זו אכן מתאימה לקיום אנטרופיה הפרופורציונאלית לשטח החור השחור, הרעיון נעשה למקובל, ואנטרופיה זו מכונה אנטרופיית בקנשטיין הוקינג.