משפטי סילו

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

משפטי סילו הם משפטים בתורת החבורות, העוסקים בקיום תת-חבורות מסוימות בחבורה סופית. המסקנה המרכזית במשפטים אלה היא שאם $\ p^n$ היא חזקה של ראשוני המחלקת את הסדר של חבורה G, אז יש לחבורה תת-חבורה מסדר $\ p^n$ . חבורות מסדר כזה נקראות חבורות p, ויש להן מבנה מיוחד מאד. משפטי סילו מאפשרים לחקור כל חבורה סופית באמצעות תת-חבורות כאלה והפעולה שלה עליהן, ומכאן המעמד המרכזי שלהן בתורת החבורות.

את המשפטים הוכיח המתמטיקאי הנורבגי לודוויג סילו בשנת 1872, והם מכלילים תוצאה קודמת של קושי, שהוכיח את המשפט עבור המקרה $\ n=1$ .

במובן מסוים, משפטי סילו הפוכים למשפט לגראנז'. לפי משפט לגראנז', הסדר של תת-חבורה H של G חייב לחלק את הסדר של G. משפטי סילו מראים שאם נתון מחלק q של הסדר של G שהוא חזקת ראשוני, אז אפשר למצוא תת-חבורה מסדר q. משפטי סילו קובעים גם שכל החבורות שסדרן הוא חזקת-p מקסימלית, צמודות זו לזו.

[עריכה] הגדרות

אם מספר ראשוני $\ p$ מחלק את הסדר של החבורה הסופית $\ G$ , אז קיימת חזקה מקסימלית של p המחלקת את הסדר: $\ p^n$ מחלק, אבל $\ p^{n+1}$ לא. לתת-חבורה של G שסדרה שווה ל- $\ p^n$ קוראים חבורת p-סילו של G. הגדרה שימושית אחרת לאותו מושג: חבורת p-סילו היא תת-חבורה של G שהיא חבורת-p, בעלת אינדקס זר ל-p.

לדוגמה, אם $|G|=24=2^3\cdot 3$ , אז תת חבורה מסדר 3 הינה חבורת 3-סילו של $\ G$ , ותת-חבורה מסדר 8 הינה חבורת 2-סילו של $G$ .

[עריכה] ניסוח המשפטים

נניח ש- G חבורה סופית, וש- $\ p^n$ היא חזקה מקסימלית של ראשוני p, המחלקת את הסדר של G. נסמן ב- $\ n_p$ את מספרן של חבורות p-סילו השונות של G. נציין מיד שאם P חבורת סילו, אז תת-החבורות הצמודות לה גם הן חבורות p-סילו. בפרט, אם קיימת חבורת p-סילו יחידה (כלומר $\ n_p=1$ ), אז היא מוכרחה להיות תת חבורה נורמלית של G.

משפט סילו הראשון. יש ל-G חבורות p-סילו (דהיינו, $\ n_p>0$ ).

משפט סילו השני. מספרן של חבורות p-סילו של G שקול לאחת מודולו p: $\ n_p \equiv 1 \pmod{p}$ .

משפט סילו השלישי. כל חבורות p-סילו של G צמודות זו לזו. יתרה מזו, כל תת-חבורת p של G מוכלת באיזושהי חבורת p-סילו של G.

מסקנה. $\ n_p$ מחלק את הסדר של G. אם נכתוב $\ G = p^nm$ , נובע מכך ש- $\ n_p$ מחלק את m. הוכחה. מספר תת-החבורות הצמודות לתת-חבורה H של G שווה לאינדקס של הנורמליזטור של H ב- G, שהוא תת-חבורה המכילה את H. אבל הנורמליזטור מכיל את H, לכן האינדקס שלו מחלק את זה של H, וממילא הוא זר ל-p.

[עריכה] דוגמה

נראה שלחבורה G מסדר 105 מוכרחה להיות תת-חבורה נורמלית. $\ 105=3\cdot 5 \cdot 7$ , ולכן יש לחבורה תת-חבורות מסדר 3, 5 ו- 7. מספרן של החבורות מסדר 3 שקול ל- 1 מודולו 3 ומחלק את 35 - ולכן הוא 1 או 7. באופן דומה מספרן של החבורות מסדר 5 הוא 1 או 21, ושל אלו מסדר 7 הוא 1 או 15. אם אחת מחבורות אלו היא יחידה מסדרה, אז היא נורמלית. נניח שאין כזו, אז יש 7 חבורות מסדר 3, שכולן ציקליות כמובן. חבורות מסדר ראשוני מוכרחות להיחתך זו עם זו באופן טריוויאלי, ולכן יש בהן $\ 7\cdot (3-1)=14$ איברים מסדר 3. באופן דומה יש 84 איברים מסדר 5 ו- 90 מסדר 7. ביחד יותר מ- 105, וזה בלתי אפשרי.

[עריכה] הוכחות

למשפטי סילו יש הוכחות רבות, למשל באינדוקציה על הסדר של G. ההוכחה שנציג כאן מבוססת על הפעולה של G על קבוצות מסוימות, והיא מיוחסת לנתן ג'ייקובסון.

הוכחת המשפט הראשון. נסמן ב- X את אוסף כל תת-הקבוצות בגודל $\ p^n$ של G. מכיוון ש- $\ |X|={|G| \choose p^n}={p^nm \choose p^n}$ , קל לחשב ש- p אינו מחלק את העוצמה של X. החבורה פועלת על X על-ידי כפל משמאל: $\ g : B \mapsto gB=\{gb: b\in B\}$ .

מכיוון שהגודל של X אינו מתחלק ב- p, מוכרח להיות מסלול תחת הפעולה של G, שגודלו אינו מתחלק ב- p. תהי $\ B\in X$ נקודה באותו מסלול; נבחר $\ b\in B$ , אז גם $\ b^{-1}B$ היא נקודה באותו המסלול, והיא מכילה את איבר היחידה של G. לכן אפשר להניח ש- $\ 1\in B$ . מצד אחד, המייצב של B מוכל ב- B (שהרי $\ x\in xB = B$ ), ולכן גודלו $\ p^n$ לכל היותר. מצד שני, האינדקס של המייצב מחלק את $\ p^nm$ , אבל הוא שווה לגודל המסלול, ולכן זר ל- p ומחלק את $\ m$ . יחד נובע מכאן שגודל המייצב שווה בדיוק ל- $\ p^n$ , ואם כך הוא שווה ל- B; אבל אז B היא חבורת p-סילו.

כעת נסמן ב- S את אוסף חבורות p-סילו של G; המשפט הראשון טוען ש- S אינה ריקה. החבורה G פועלת על S לפי הצמדה.

טענה. אם תת-קבוצה T של S סגורה תחת הפעולה, אז גודלה שקול ל- 1 מודולו p. הוכחה. ברור שכל חבורת p-סילו היא תת-חבורת-p מקסימלית. לכן, אם P,Q שתיהן חבורות p-סילו, אז PQ אינה תת-חבורה של G (אחרת סדרה היה שווה ל- $\ \frac{|P|\cdot |Q|}{|P\cap Q|}$ , וזו חזקת-p גדולה מדי). מכאן יוצא ש- Q אינה יכולה לנרמל את P (אחרת $\ PQ=QP$ היא תת-חבורה).

כעת תהי P חבורת p-סילו; בתור תת-חבורה של G, גם P פועלת על S בהצמדה, ולכן היא פועלת גם על T. גדלי המסלולים תחת הפעולה הזו מחלקים כמובן את הגודל של P, ולכן הם כולם חזקות של p. יש שני סוגים של מסלולים: אלה שגודלם 1, ואלה שגודלם מתחלק ב- p. אם Q היא נקודה יחידה במסלול, אז P מנרמלת את Q, וזה בלתי אפשרי - אלא אם Q=P. כלומר, יש רק מסלול אחד שגודלו 1, והוא המסלול המכיל את P בלבד. גדלי שאר המסלולים מתחלקים ב- p, ולכן סכום הגדלים של כל המסלולים (שהוא כמובן הגודל של T) שקול ל- 1 מודולו p.

הוכחת המשפט השני. מספיק לבחור T=S בטענה.

הוכחת המשפט השלישי. לפי הטענה, הגודל של כל מסלול שקול ל-1 מודולו p. אבל כך גם עבור האיחוד של שני מסלולים, אילו היו כאלה, וזה כמובן בלתי אפשרי. מכאן שיש בפעולה רק מסלול אחד, ובמלים אחרות זוהי פעולה טרנזיטיבית.

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%9E/%D7%A9/%D7%A4/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98%D7%99_%D7%A1%D7%99%D7%9C%D7%95.html

קטגוריה: תורת החבורות