קומפלקס שרשרת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית, קומפלקס שרשרת (או קומפלקס) הוא אמצעי אלגברי, אשר מקורו בטופולוגיה אלגברית. במקור הוא איפשר לבטא את הקשר האלגברי בין ציקלוסים ושפות של מרחב כלשהו. באופן כללי יותר, אלגברה הומולוגית עוסקת בעיקר בחקר של קומפלקסים בצורה אבסטרקטית, ללא קשר גאומטרי או טופולוגי מפורש.

השימוש העיקרי של קומפלקסים הוא על מנת להגדיר חבורות הומולוגיה (או קוהומולוגיה עבור קומפלקסי קו-שרשראות).

[עריכה] הגדרה פורמלית

קומפלקס שרשרת $(A_\bullet, d_\bullet)$ הוא סדרה של חבורות אבליות או מודולים ... A_-2, A_-1, A₀, A₁, A₂, ... המקושרים על ידי הומומורפיזמים (הנקראים אופרטורי שפה) d_n : A_n→A_n−1 כך שההרכבה של כל שני הומומורפיזמים עוקבים שווה ל0: d_n o d_n+1 = 0 לכל n. בדרך כלל נרשם קומפלקס בדרך הבאה:

$\cdots \to A_{n+1} \begin{matrix} d_{n+1} \\ \to \\ \, \end{matrix} A_n \begin{matrix} d_n \\ \to \\ \, \end{matrix} A_{n-1} \begin{matrix} d_{n-1} \\ \to \\ \, \end{matrix} A_{n-2} \to \cdots \to A_2 \begin{matrix} d_2 \\ \to \\ \, \end{matrix} A_1 \begin{matrix} d_1 \\ \to \\ \, \end{matrix} A_0 \begin{matrix} d_0 \\ \to \\ \, \end{matrix} A_{-1} \begin{matrix} d_{-1} \\ \to \\ \, \end{matrix} A_{-2} \begin{matrix} d_{-2} \\ \to \\ \, \end{matrix} \cdots$

הגדרה קרובה להגדרה זו היא של קומפלקס קו-שרשרת. קומפלקס קו-שרשרת $(A^\bullet, d^\bullet)$ הוא סדרה של חבורות אבליות או מודולים ... A_-2, A_-1, A₀, A₁, A₂, ... המקושרים על ידי הומומורפיזמים d_n : A_n→A_n+1, כך שההרכבה של כל שני הומומורפיזמים עוקבים היא 0: d_n+1 o d_n = 0 לכל n. בדרך כלל נרשם קומפלקס קו-שרשרת בדרך הבאה:

$\cdots \to A_{-2} \begin{matrix} d_{-2} \\ \to \\ \, \end{matrix} A_{-1} \begin{matrix} d_1 \\ \to \\ \, \end{matrix} A_0 \begin{matrix} d_0 \\ \to \\ \, \end{matrix} A_1 \begin{matrix} d_1 \\ \to \\ \, \end{matrix} A_2 \to \cdots \to A_{n-1} \begin{matrix} d_{n-1} \\ \to \\ \, \end{matrix} A_n \begin{matrix} d_n \\ \to \\ \, \end{matrix} A_{n+1} \to \cdots.$

הרעיון בשני המקרים זהה, וההבדל הוא פשוט כיוון ההתקדמות של החיצים. בשני המקרים האינדקס i ב A_i נקרא דרגה.

קומפלקס שרשרת חסום הוא קומפלקס שרשרת בו כמעט לכל i (כלומר, פרט למספר סופי) מתקיים ש A_i שווה ל0. קומפלקס סופי ניתן להמשכה שמאלה וימינה על ידי אפסים. בדומה, קומפלקס שרשרת חסום מלמעלה הוא קומפלקס שרשרת כך שקיים n כך שלכל i>n מתקיים ש A_i שווה ל0. קומפלקס שרשרת חסום מלמטה מוגדר באופן דומה.

[עריכה] סימונים והגדרות נוספות

אם נשמיט את האינדקסים, הקשר הטבעי על d ניתן לניסוח על ידי:

d² = 0.

התמונה של d היא חבורת השפות, או בקומפלקס קו-שרשרת - חבורת הקו-שפות. הגרעין של d נקרא חבורת הציקלוסים', או במקרה של קומפלקס קו-שרשרת- חבורת הקו-ציקלוסים. מכיוון ש d² = 0 הרי שחבורת השפות היא תת חבורה של חבורת הציקלוסים.

[עריכה] דוגמאות

כל סדרה מדויקת היא קומפלקס שרשרת, משום שבסדרה מדויקת התמונה של כל הומומורפיזם שווה לגרעין של ההומומורפיזם הבא אחריו, ובפרט ההרכבה של שני הומומורפיזמים עוקבים שווה ל0.