גאומטריה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

גאומטריה היא ענף של המתמטיקה העוסק בצורות ובמבנים, ובהם הישויות: נקודות, קווים ישרים, עקומות, משטחים וגופים.

על פי רוב עוסקים בגאומטריה בהוכחת טענות לגבי הישויות בעזרת משפטים, המתבססים על אקסיומות. דוגמה למשפטים גאומטריים מהווים משפטי חפיפה. דוגמאות לאקסיומות מופיעות בערך נקודה.

המבנים היסודיים של הגאומטריה (בדרך כלל, נקודה, קו ישר, מעגל, ולעתים גם הזווית והמרחק) מתוארים באמצעות האקסיומות שהם מקיימים. גישה כזו אינה מסתפקת בתאור שיטות ואבחנות גאומטריות, אלא מתארת במפורש את הנחות היסוד (האקסיומות), וגוזרת מהן בדרך של הוכחה את המשפטים המתייחסים לאותם מבנים.

[עריכה] היסטוריה של הגאומטריה

איורי גופים גאומטריים, מתוך ציקלופדיית צ'יימברס

גאומטריה היא מענפי המתמטיקה העתיקים ביותר. הגאומטריה התחילה להתפתח במזרח אסיה ובמצרים העתיקה. היוונים הקדמונים עסקו בה בהרחבה והביאו אותה לכדי מיצוי. הבסיס והמבוא השיטתי לה, מופיע בספריו של אוקלידס "יסודות".

המלה "גאומטריה" באה מלשון גאיה - אלת האדמה במיתולוגיה היוונית ומטריה - מדידה. מקור זה מעיד על שורשיה המעשיים של הגאומטריה - מדידת חלקות אדמה, אך כבר היוונים הקדמונים הפכו את הגאומטריה למדע עיוני העומד בפני עצמו, שאינו זקוק לתמריצים חיצוניים. המחשת המשמעות העיונית, המנותקת מצרכים מעשיים, של הגאומטריה, ניתנת, למשל, בבעיות בנייה בסרגל ומחוגה בלבד. מובן שלצרכים מעשיים אין משמעות למגבלה זו - לצרכים מעשיים נרשה לעצמנו להשתמש בכלים נוספים, ולא נגביל עצמנו לסרגל ומחוגה בלבד.

התאור הראשון של הגאומטריה שבו נעשה מאמץ לדייק בניסוחים ולהניח תשתית אקסיומטית הוא סדרת הספרים "יסודות" של אוקלידס, במאה השלישית לפני הספירה (להרחבה בנושא זה, ראו גאומטריה אוקלידית). יצירתו של אוקלידס הציבה רף גבוה של קפדנות מתמטית, ובמשך יותר מאלפיים שנה לא הורגש צורך לשפר את הטיפול במושגי היסוד הגאומטריים. במשך השנים נעשו נסיונות רבים להוכיח את אקסיומת המקבילים מתוך האקסיומות האחרות. נסיונות אלה נכשלו כולם, עד שהביאו בסופו של דבר, בשליש הראשון של המאה ה-19, לפיתוח הגאומטריות הלא-אוקלידיות.

בסוף המאה ה-19, במקביל לייסוד תורת הקבוצות, הוברר שהמערכת של אוקלידס אינה עומדת בסטנדרטים המודרניים. לדוגמה, הוא מתייחס למושגים כמו חפיפה או השוואה של זוויות כמושגים 'טבעיים', והאקסיומות שלו אינן מפרטות את תכונותיהם. בפרט, גישה זו אינה מספיקה לתאור הגאומטריה האוקלידית כשפה מסדר ראשון.

כמענה לבעיה זו, פיתח הילברט מערכת אקסיומטית חלופית, מערכת האקסיומות של הילברט שבה כעשרים וחמש אקסיומות. כבר מאז עבודתו של דקארט היה ברור שאפשר לבסס את הגאומטריה על בניות אנליטיות כמו הישר הממשי ומערכת הצירים הקרטזית. הבנה זו התחזקה אחרי שהאנליזה עצמה נוסחה במונחי תורת הקבוצות האקסיומטית. היום משתשמשים בגישה אקסיומטית כדי לתאר גאומטריות חלופיות, כמו למשל גאומטריה פרויקטיבית סופית והגאומטריה של בניינים. למרות שבגאומטריה האוקלידית נוח יותר לטפל בדרכים אחרות, מקומן של האקסיומות של אוקלידס כאבן פינה בהתפתחות המתמטיקה, מובטח לדורות.

כמו כן, התפתחה במאה ה-19 גאומטריה דיפרנציאלית, עליה התבססה מאוחר יותר תורת היחסות של אלברט איינשטיין.

התפתחות נוספת בגאומטריה המודרנית היא פיתוחה של הגאומטריה הלא קומוטטיבית. מכיוון שמבנים גאומטרים רבים ניתנים לתיאור אלגברי כמבנים קומוטטיבים הרי שפעמים רבות ניתן לראות במבנים אלגברים לא קומוטטיבים הכללה גאומטרית של המבנים הקומוטטיבים ובכך לקבל גם להם תמונה גאומטרית. לדוגמה - מאחר ומרחב הפונקציות הרציפות המתאפסות באינסוף על מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית מהווה אלגברת סי כוכב קומוטטיבית, ומאחר וניתן להראות (משפט הייצוג של גלפנד) שכל אלגברת סי כוכב קומוטטיבית היא מהצורה הזו, הרי שניתן לראות באלגברת סי כוכב לא קומוטטיבית כמודל למושג המופשט מרחב טופולוגי לא קומוטטיבי.