תורת אוילר ברנולי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

הנחת ברנולי-אוילר היא הנחה פיזיקלית הטוענת כי בכפיפה סימטרית של קורות, חתך מישורי וניצב לציר הקורה לפני הכפיפה יישאר מישורי וניצב לציר הקורה גם בעת הכפיפה.

הנחה זו תקפה אם אורך הקורה גדול משמעותית מרוחבה. תאונה של מטוס בואינג התרחשה מכיוון שתנאי זה לא התקיים: פין החיזוק של אחד המנועים נסדק וגרם לנפילת המנוע. חקירה בנושא העלתה כי השימוש בהנחה היה מוטעה מכיוון שיחס ממדי הפין היו 1:1.5.

בתורת הכפיפה של לוחות, הנחה מקבילה לתנאי ברנולי-אוילר היא הנחת קירכהוף-לאב (Love).

להלן פיתוח משוואת אוילר-ברנולי, כמתואר באיור.

העיבור בציר c-c יחסית לציר הניטראלי הוא:

$\ dx=\rho d\theta\ \Rightarrow\qquad \epsilon_{x,cc}= \epsilon_{x,y}= \frac{(\rho-h)d\theta-\rho d\theta}{\rho d\theta}= -{y\over\rho}$

מחוק הוק:

$\ \epsilon_x= {\sigma_x\over E}- {\nu\sigma_y\over E}- {\nu\sigma_z\over E}$

המאמצים בכיוונים y,z זניחים יחסית למאמץ בכיוון x ולכן:

$\ \sigma_x\approx E\epsilon_x= -{Ey \over\rho}$

נגדיר את המומנט ואת כיוונו יחסית לציר הניטראלי:

$\ M(x)= -\int_A y\sigma_xdA= {E\over\rho}\int_A y^2dA = {EI\over\rho}$

אם נציב תוצאה זו בחוק הוק נקבל:

$\ \sigma_x=-{My\over I}$

כלומר כאשר הקורה אחידה, המאמץ עקב כפיפה לא תלוי בחומר.

כעת נרצה למצוא את משוואת השקיעה w של הקורה. נשתמש בקשרים שקיבלנו על מנת לבטא את העקמומיות המקומית של הקורה:

$\ {1\over\rho}={M\over EI}$

באמצעות גאומטריה דיפרנציאלית ניתן להראות כי מתקיים:

$\ {1\over\rho(x)}= \frac{w''(x)}{\left(1+[w'(x)]^2\right)^{3/2}}$

כאשר מדובר בדפורמציות קטנות, ניתן להניח $\ [w'(x)]^2\ll 1$ ואז:

$\ {1\over\rho}={M\over EI}=w''(x)$

מאמץ (הנדסה)
מאמצים: מאמץ גזירה - מאמץ כפיפה - מאמץ לחיצה - מאמץ מתיחה - מאמץ פיתול - מאמץ קריסה - עייפות החומר
נושאי עזר: מומנט כפיפה - מומנט כוח - מודול האלסטיות - אלסטיות - חוק הוק - קבועי לאמה - מקדם פואסון - מודול הגזירה
שטחים: שטח - מומנט התמד - מומנט ההתמד של השטח - מומנט התמד פולרי של השטח - משפט שטיינר - טנזור התמד
נושאים משלימים: חוזק חומרים - טנזור מאמצים - מאמצים ראשיים - מעגל מור - היפותזות חוזק - שיטות אנרגיה - חוקי קסטיליאנו