Additív rend

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az additív rend fogalmával a matematikában elsősorban a számelmélet és az algebra foglalkozik.

Legyen adott egy m ∈ ℤ egész szám. Egy egész szám (vagy mod(m) maradékosztály) modulo m vagy röviden mod(m) additív rendje az a legkisebb nemnegatív egész szám, mellyel a számot (vagy maradékosztályt) megszorozva, m-mel osztható számot kapunk; vagyis 0-val kongruens számot modulo m. Ugyanez a definíció elmondható maradékosztályokra is: a kettő, más megfogalmazásban, lényegében ugyanaz. A formális definíció egész számokra illetve maradékosztályokra vonatkozó változatai is olvashatóak e cikkben.

A könnyebb érthetőség kedvéért mondjunk egy példát. Mondjuk két óceánjáró hajó, a „Missou Mary” 5 hónaponként, a „Mama Leone” pedig 6 hónaponként köt ki ugyanabban a kikötőben. Ha egy adott hónapban mindketten a kikötőben voltak, kérdés, hogy mennyi idő múlva találkoznak újra?

Egy lehetséges és elemi megoldás, hogy a visszatérési periódusok legkisebb közös többszörösét, azaz [5,6]=30-at kell venni, tehát 2 év és 6 hónap múlva.
E mögött az van, hogy addig kell többszöröznünk az egyik számot, mondjuk a hatot, míg a másikkal, 5-tel osztható szorzatot nem kapunk. Az első ilyen többszörös szolgáltatja a megoldást. Azaz 6, 2×6=6+6=12, 3×6=6+6+6=18, 4×6=24 nem megoldások, de a legkisebb ilyen többszörös, 5×6=30 már igen, mert osztható öttel. Tehát úgy is megoldhatjuk a feladatot, ha a 6-nak a mod(5) additív rendjét számoljuk ki, majd azzal megszorozzuk. Persze fordítva is gondolkodhatunk: kiszámoljuk 5 mod(6) rendjét (6), és a két számot összeszorozzuk. Mindkét eljárás tényleg a legkisebb közös többszörös kiszámítását jelenti, hisz az additív rend definíciója miatt a szám és mod(m) rendje szorzata a legkisebb olyan szám, melynek mindkét szám (a szám és modulusa) osztója, tehát épp a szám és modulusa legkisebb közös többszöröse.

Az egész számokra és maradékosztályokra értelmezett „additív rend” kifejezést még a következő értelemben is használjuk: adott egy R = (U,+,×) gyűrű. Ekkor az a∈U elem (U,+) additív csoportbeli rendjét nevezzük az a ∈ U elem additív rendjének, és ezt, ahogyan az egész számokra értelmezett additív rendet is o^{+}(a)-val jelöljük (esetleg, hogy megkülönböztessük a két fogalmat, $o_{R^{+}}(a)$ -val).

Az egészek számokra és maradékosztályokra értelmezett additív rend tulajdonképp az utóbbi fogalom speciális esete (tehát ez ad jogot az azonos jelölésmód alkalmazására is), minthogy (ℤ,+,×) és (ℤ_m,+,×) is gyűrűk: egy egész szám vagy mod(m) maradékosztály additív rendje annak a (ℤ_m,+) csoportbeli rendje. Az általánosabb, gyűrűben értelmezett additív rendfogalom gyakorlatilag a csoportelméletben értelmezett rendfogalom alkalmazása egy speciális helyzetben (ezt az indokolja, hogy tekinthető az (U,×) multiplikatív félcsoportra vonatkozó rend is, tehát „additív” és „multiplikatív” rend is létezik, mert kétféle csoporttal vagy félcsoporttal is dolgunk van gyűrűk esetében), ezért a rend cikkben foglalkozunk velük általánosabban (ezeken kívül a (moduláris) számelméletben a csoportelmélettől fügetlenül is definiálható a multiplikatív rend ).

[szerkesztés] Értelmezés az egészek körében

[szerkesztés] Definíció egész számokra

Legyenek $m,i \in Z$ egész számok, ekkor $i$ additív rendje mod(m) az $o^{+}_{m}(i) := min \left\{ e \in \mathbb{N}^{+} : ei \equiv 0 \pmod{m} \right\} = min \left\{ e \in \mathbb{N}^{+} : m | ei \right\} \in \mathbb{N}$ természetes szám (két, egyenértékű definíciót is megadtunk).

Belátható, hogy a>1 esetén az additív rend az a∈ℤ egész szám vagy maradékosztály többszörösei $(i \cdot a)_{ i \in \mathbb{Z}} = \left( ... , \ -1 \cdot a , \ 0 \cdot a , \ 1 \cdot a , \ 2 \cdot a , \ ... , \ i \cdot a , \ ... \right)$ sorozatának mod(m) maradékainak (minimális) periódusa. Ez azon a tételen alapul, pontosabban ezt az a tétel fogalmazza meg még precízebb formában, hogy az a két többszöröse akkor és csak akkor egyenlő, ha a fenti sorozatban az $i$ indexeik, azaz a többszörözőik kongruensek mod(m). Ezt bővebben a rend c. szócikkben tárgyaljuk, mert egy csoportelméleti tétel speciális esete. Az idézett tétel bizonyítása lentebb megtalálható.

[szerkesztés] Egyértelmű létezése

Könnyen látható, hogy ilyen pozitív egész szám általában létezik,

hiszen ha m>0, akkor biztos, hogy $mi \equiv 0 \pmod{m}$ , mivel $m | m i$ , ezért az $A = A_{m}(i) := \left\{ e \in \mathbb{N}^{+} : ei \equiv 0 \pmod{m} \right\}$ halmaz nem üres (0 <m ∈ A), és így a természetes számok jólrendezettsége miatt létezik minimuma, ami jólrendezett struktúrákban ráadásul biztosan egyértelmű. Ha m<0, akkor ugyanez a gondolatmenet alkalmazható, csak m helyett -m-mel. Ezért: tetszőleges egész számnak tetszőleges nem nulla egész modulusra nézve létezik additív rendje.
ha m = 0, akkor is $m | m i$ biztosan teljesül, csakhogy ekkor az m szám nem pozitív egész, tehát az A halmaz mégis csak üres lehet; ha ezen kívül nincs más e; és általában üres is. Ugyanis m=0|ei azt jelenti, hogy található olyan d egész szám, melyre ei = d×0 = 0, tehát hogy e = m = 0 vagy i = 0. Azaz, csak az i = 0 -ra nem üres az $A 0 (i)$ halmaz, de egyébként az egyetlen eleme e = 0 lenne csak (ami nem lehet eleme, kizártuk az e = 0 esetet az $e \in \mathbb{N} ^{+}$ kifejezéssel A definíciójában).

Tehát m = 0 -ra csak i = 0 -nak létezik additív rendje, de egyébként nemnegatív i-re és pozitív m-re a rend létezik és egyértelmű. Lentebb belátjuk, hogy tetszőleges, akár negatív i és m egészekre (m=0 kivételével) is egyértelműen létezik a rend.

[szerkesztés] Kiterjesztett definíciók

[szerkesztés] Nulla modulusra

Kiterjeszthetjük ezért a rend definícióját így (ahogy az csoportokban is szokásos): $o^{+}_{m}(i) =$ $= \begin{cases}min \left\{ e \in \mathbb{N}^{+} : ei \equiv 0 \pmod{m} \right\}; & \mbox{ha }\exists e \in \mathbb{N}^{+} : ei \equiv 0 \pmod{m}; \\ 0, & \mbox{ha }\not \exists e \in \mathbb{N}^{+} : ei \equiv 0 \pmod{m} \end{cases}$ , vagyis ha az i-t szorozva m-mel osztható szorzatot adó szorzók halmaza nem üres, akkor a rend e halmaz minimuma, és 0, ha e halmaz üres. E kiterjesztésben $o^{+}_{m}(i) \in \mathbb{N}$ .

Egy másik lehetséges kiterjesztésben $o^{+}_{m}(i) \in \mathbb{N} \cup \infty$ : $o^{+}_{m}(i) =$ $= \begin{cases}min \left\{ e \in \mathbb{N}^{+} : ei \equiv 0 \pmod{m} \right\}; & \mbox{ha }\exists e \in \mathbb{N}^{+} : ei \equiv 0 \pmod{m}; \\ \infty, & \mbox{ha }\not \exists e \in \mathbb{N}^{+} : ei \equiv 0 \pmod{m} \end{cases}$

Az előzőekben elmondottak szerint a következő definíció is ugyanezt jelenti: $o^{+}_{m}(i) =$ $= \begin{cases}min \left\{ e \in \mathbb{N}^{+} : ei \equiv 0 \pmod{m} \right\}; & \mbox{ha }m \ne 0 \vee \left( m=0 \wedge i=0 \right); \\ \infty \ (vagy \ 0), & \mbox{ha }m=0 \wedge i \ne 0 \end{cases}$

[szerkesztés] Negatív számokra

Negatív egészekre és modulusra is kiterjeszthető a definíció; ugyanis egy negatív szám épp akkor osztható egy számmal, mikor pozitív ellentettje, tehát $o_{m} ^{+} (-i) = o_{m} ^{+} (i) = o_{-m} ^{+} (i) = o_{-m} ^{+} (-i)$ tetszőleges $i, m \in \mathbb{Z}$ egészekre

[szerkesztés] Kiszámítása

A cikk elején lévő példa alapján $o^{+}_{m}(i) \cdot i = \left[ m,i \right]$ sejthető. Ez általában is igaz. Egy $i \ne 0$ szám additív rendjét tehát a következőképp számolhatjuk ki:

$o^{+}_{m}(i) = \frac{ [m, i] }{i} = \frac{m}{ \left( i,m \right) }$ ;

vagyis az m modulust osztjuk a modulus és a szám legnagyobb közös osztójával. Az utóbbi kiszámítási mód nemcsak gazdaságosabb, mivel a legnagyobb közös osztó kisebb és könnyebben számolható, mint a legkisebb közös többszörös, hanem még i = 0-ra is működik, a 0 additív rendje eszerint minden nem nulla modulusra 1.

Bizonyítás (vázolva): A rend definíció szerint a legkisebb olyan természetes szám, mellyel az adott számot szorozva, a modulussal osztható szorzatot kapunk. Ez a szorzat tehát a legkisebb olyan természetes szám, mely a modulusnak is, és az adott számnak is többszöröse – ez pedig épp az adott szám és a modulus legkisebb közös többszörösének definíciója. Felhasználva, hogy tetszőleges i,m egészekre $mi = [m,i] \cdot (m,i)$ , a második egyenlőség is adódik.

[szerkesztés] Táblázat

Az additív rend kis egész számokra a következőképp alakul:

↓m,i→	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
0	1	0/∞	0/∞	0/∞	0/∞	0/∞	0/∞	0/∞	0/∞	0/∞	0/∞	0/∞	0/∞	0/∞
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	1	2	1	5	1	2	1	2	1	2	1	2
3	1	3	3	1	3	3	1	3	3	1	3	3	1	3
4	1	4	2	4	1	4	2	4	1	4	2	4	1	4
5	1	5	5	5	5	1	5	5	5	5	1	5	5	5
6	1	6	3	2	3	6	1	6	3	2	3	6	1	6
7	1	7	7	7	7	7	7	1	7	7	7	7	7	7
8	1	8	4	8	2	8	4	8	1	8	4	8	2	8
9	1	9	9	3	9	9	3	9	9	1	9	9	3	9
10	1	10	5	10	5	2	5	10	5	10	1	10	5	10
11	1	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11	1	11	11
12	1	12	6	4	3	12	2	12	3	4	6	12	1	12

Megjegyzések:
- a 0/∞ jelölés nem 0 osztva végtelennel, hanem azt jelenti, hogy 0 modulusra nézve nem létezik additív rend, ezért önkényesen 0-nak, vagy (a /-jel ezt jelenti, nem osztást) ∞-nek definiáljuk. Mindkét definíciónak megvan a maga oka (ld. rend).
- A fentebbiekkel összhangban a táblázat negatív egészekre is kiterjeszthető, a modulus is lehet negatív akár.

[szerkesztés] Az additív rend maradékosztály-tulajdonság

Észrevehetjük, és vegyük is észre, hogy minden sorban az $f(i) = \left( o _{m} ^{+}(i) \right) _{ i \in \mathbb{N} }$ sorozat periodikus. Mégpedig a (minimális) periódus éppenséggel az m modulus! Tehát ha i mod(m) rendje n, akkor i+m, i+2m, ... i+km rendje is n, a táblázatból sejthetően minden $k \in \mathbb{N}$ -re, de az utána következő megjegyzésből adódóan minden $k \in \mathbb{Z}$ -re is! Ez tehát azt jelenti, hogy a rend maradékosztály-tulajdonság. Valóban így is van.

Tétel: Legyen m ≠ 0 egész szám. Ekkor mod(m) kongruens egész számok additív rendje egyezik: $i \equiv j \pmod{m} \Rightarrow o_{m}^{+}(i) = o_{m}^{+}(j)$ . Bizonyítás: Érvényes $\forall n \in \mathbb{N}: ni \equiv 0 \pmod{m} \Leftrightarrow nj \equiv 0 \pmod{m}$ , mivel ha $i \equiv j \pmod{m} : \Leftrightarrow \exist z \in \mathbb{Z} : j=i+mz$ , s ekkor $0 \equiv nj \equiv n(i+mz) \equiv ni+nmz \pmod{m} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ni \equiv -nmz \equiv 0 \pmod{m}$ . Tehát i és j bármely (számmal vett) többszöröse egyszerre kongruens (vagy nem kongruens) mod(m), azaz az m-mel osztható szorzatot adó szorzóik halmaza megegyezik, és ekkor ennek minimuma, ami pont az additív rend, is megegyezik.

[szerkesztés] Értelmezés a maradékosztályok körében

[szerkesztés] A maradékosztályokról

A továbbhaladás előtt érdemes elolvasni a maradékosztály és a kongruencia szócikket.

Legyen ismét $m,i \in \mathbb{Z}$ két egész szám, ekkor az m modulusra vagy maradékra nézve (röviden mod(m)) maradékosztálynak nevezzük az $\bar{i} _{m} \ :=$ $\left\{ z \in \mathbb{Z} \ : \ z \equiv i \pmod{m} \right\}$ = $\left\{ z \in \mathbb{Z} \ : \ m \ | \ z-i \right\}$ . Pontosan az m-mel osztva i-vel azonos maradékot adó számok tartoznak az $\bar{i}_{m}$ maradékosztályba (a maradékosztály elemeit a maradékosztály reprezentánsainak is nevezzük). Tehát két maradékosztály egyenlő akkor és csak akkor, ha valamely két elemük (azaz ha összes elemük) mod(m) kongruens.

Ha az m szám rögzített, röviden csak $\bar{i}$ -t írunk. A maradékosztályok halmazát, mely osztályfelbontása $\mathbb{Z}$ -nek, $\mathbb{Z}_{m}$ jelöli. Minden m-re pontosan m db. maradékosztály van (az m=0-t kivéve, mert mod(0) maradékosztály végtelen sok van: minden egész szám külön osztályba tartozik), végtelen sok elemmel (kivéve m=0, minden mod(0) osztály egyelemű).

[szerkesztés] Maradékosztály additív rendje

Tekintsük a $M_{m} = \left( \mathbb{Z}_{m} , + , \bar{0} \right)$ mod(m) maradékosztályokat az összeadás műveletével, mely additív és neutrális elemes Abel-csoport, tehát csoport. Ha $\bar{i} \in \mathbb{Z}_{m}$ , és m>0, akkor létezik, mégpedig egyértelműen olyan $o:= o_{m}^{+}(i) \in \mathbb{N} ^{+}$ pozitív egész szám, hogy $o_{m}^{+}(i) = \bar{0}$ legyen.

I. bizonyítás: ezt tulajdonképp az előzőekben beláttuk. Legyen m>0, tetszőleges -re létezik, mint a legkisebb olyan e szám, melyre , azaz amelyre ahogy a fentebb beláttuk. Tehát egy osztály additív rendje pontosan a reprezentánsa(inak) additív rendje, utóbbiról meg már tudjuk, hogy létezik és pozitív, ha m>0. Ezzel kész is vagyunk .
- Tehát az egy osztályba tartozó egészek rendje megegyezik. Fordítva azonban ez nem igaz: különböző maradékosztályoknak is lehet azonos az additív rendje. Például mod(6) $o^{+}(\bar{2}) = o^{+}(\bar{4}) = 3$ , noha $\bar{2}_{6} \ne \bar{4}_{6}$
- A fenti bizonyítás nem működik m = 0-ra, hiszen már az egészek körében sem működött. Hasonlóan, mint ama szituációban, most is belátható, hogy a mod(0) maradékosztályoknak tényleg nincs is pozitív rendje. Ez esetben a rend-definíció hasonló kiterjesztéseit alkalmazzuk, mint az egészeknél.
II. bizonyítás (vázlatosan): Könnyű belátni, hogy véges csoport (ha m>0), és ebből is következik az állítás. Ugyanis ha egy elemet elkezdünk többszörözni: x, x+x=2x, x+x+x=3x, ... stb., akkor lesz két olyan többszörös, hogy fx=ex legyen. Ha ilyenek nem lennének, azaz semelyik két többszörös nem lenne egyenlő, mindegyik különböző lenne, akkor végtelen sok különböző elem lenne e félcsoportban, de ez a végessége miatt lehetetlen. Tehát ilyen e,f létezik, és ekkor – itt használjuk fel, hogy csoportról van szó – fx-ex = (f-e)x = 0. Tehát az f-e ≠ 0 természetes szám megfelelő. QED .
- Ez a bizonyítás sem működik a mod(0) esetre és csak erre, mert $\mathbb{Z}_{0}$ végtelen halmaz.

Tehát m ≠ 0 modulusra a rendet a következőképp definiálhatjuk:

$o^{+}_{m}(\bar{i}) := min \left\{ e \in \mathbb{N}^{+} : e\bar{i}_{m} \equiv \bar{0}_{m} \right\}$

[szerkesztés] Egyéb bizonyítások a létezésre és egyértelműségre

III. bizonyítás: Adott az $\bar{i}_{m}$ osztály, oldjuk meg az $yi \equiv 0 \pmod{m}$ kongruenciát (ha úgy tetszik, a $\overline{y}_{m} \overline{i}_{m} = \bar{0}_{m}$ egyenletet). E kongruenciák szabályos megoldása a következő: mindkét oldalt oszthatjuk i-vel, de a modulust $\frac{m}{ \left( i,m \right) }$ -re kell változtatni. Tehát a megoldás az $\bar{y}_{m} = \overline{ \frac{m}{ \left( i,m \right) } } _{m}$ osztály. Ennek kell a legkisebb pozitív elemét venni, ez m=0 esetén $\frac{0}{ \left( i, 0 \right) } = \frac{0}{i} = 0$ ; nem pozitív (sőt i=0 esetén így nem is értelmezhető); de más esetben a nevező biztosan pozitív (0-nál nagyobb szám bármilyen egésszel vett ln.k.o.-ja nem nulla ugyanis, hanem pozitív), és a számláló is az, tehát sejthető, hogy ez az elem $\frac{m}{ \left( i,m \right)}$ . És valóban, ez pozitív számok hányadosa lévén pozitív, továbbá nála kisebb pozitív szám már nincs az osztályban: ugyanis ha lenne ennél kisebb pozitív d, akkor $0 < d \le \frac{m}{ \left( i,m \right)} , d \equiv \frac{m}{ \left( i,m \right)}$ , innen a két elem különbsége nemnegatív, ráadásul m-mel osztható, azaz $\frac{m}{ \left( i,m \right)} -d = km$ , ahol 0 ≠ k; azaz $\frac{m}{ \left( i,m \right)} = km+d$ , ám a baloldal legfeljebb m, míg a jobboldal a k=0 és d=0 esetet kivéve nagyobb mint m. Tehát vagy k=0, azaz $d = \frac{m}{ \left( i,m \right)}$ , vagy pedig d=0, holott feltettük, hogy pozitív. Így az állítást beláttuk.

Vannak olyan elemi (nem-algebrai szemléletű) művek, melyekben ez a bizonyítás található vázlatosan, holott látjuk, mennyivel egyszerűbb lehetőségek léteznek.

[szerkesztés] Kiterjesztett definíciók maradékosztályokra

A pozitív egész értékű rend definícióját kiterjeszthetjük mod(0) maradékosztályokra is, úgy, ahogy az egészek körében tettük, egyszerűen csak az $o^{+}_{m}(i) := ...$ kifejezés helyett $o^{+}_{m}(\bar{i}) := ...$ irandó (tehát valamiképp jelezni kell, hogy maradékosztályokról van szó), és egészek kongruenciája helyett maradékosztályok egyenlősége. Például a legegyszerűbb, harmadik kiterjesztést közüljük maradékosztályokra helyesbítve, de az első kettőnél is hasonlóan lehetséges: $o^{+}_{m}(\bar{i}) \begin{cases}min \left\{ e \in \mathbb{N}^{+} : e\bar{i}_{m} = \bar{0}_{m} \right\}; & \mbox{ha }m \ne 0 \vee \left( m=0 \wedge \bar{i}_{0}=\bar{0}_{0} \right); \\ \infty \ (vagy \ 0), & \mbox{ha }m=0 \wedge \bar{i}_{0} \ne \bar{0}_{0} \end{cases}$

[szerkesztés] Fontosabb tulajdonságok

Közöljük az additív rend néhány fontos (az eddigieken túli) matematikai tulajdonságát, egész számokra fogalmazva. A maradékosztályokra való átfogalmazás nem olyan nehéz, csak számok helyett maradékosztályt és kongruencia helyett egyenlőségjelet kell írni (utóbbi a $\mathbb{Z}_{m}$ halmazon belüli egyenlőség).

$ji \equiv ki \pmod{m} \Leftrightarrow j \equiv k \pmod{ o^{+}_{m}(i) }$
$ji \equiv 0 \pmod{m} \Leftrightarrow o^{+}_{m}(i) | j$
Ha $m \ne 0$ , $o^{+}_{m}(i) | m$ , és $o^{+}_{m}(i) = m \Leftrightarrow \left( i,m \right) = 1$
$o^{+}_{m}(i+j) | \left[ o^{+}_{m}(j) , o^{+}_{m}(i) \right]$
$o^{+}_{m}(ji) | \left( o^{+}_{m}(j) , o^{+}_{m}(i) \right)$

Rövid indoklás:

1. Egy kongruenciát i-vel egyszerűsíthetünk úgy, hogy a modulust osztjuk i-nek és a modulusnak a legnagyobb közös osztójával, a kapott hányados pedig, az egyszerűsített kongruencia modulusa, az előző szakasz szerint épp az i mod(m) rendje.
- Ezek szerint: kongruenciát egy szorzóval egyszerűsítve az egyszerűsített kongruencia modulusa a szorzó eredeti modulus szerinti rendje.
2. Az előző tulajdonsághoz teljesen hasonló: egyszerűsítünk i-vel úgy, hogy a modulust osztjuk (i, m)-mel, a kapott hányados – az egyszerűsített kongruencia modulusa – az i rendje mod(m); az egyszerűsített kongruencia szerint tehát j kongruens nullával mod ( o⁺_m(i) ), ami épp azt jelenti, hogy osztható ezzel a renddel.
- Ezek szerint szorzat akkor és csak akkor kongruens 0-val mod(m), ha bérmely tényezőjének mod(m) affitív rendje osztója a másik tényezőnek.
- Ezt egy populárisabb (és maradékosztályokra is általánosítható) formában inkább úgy szoktuk megfogalmazni, hogy egy számot mod(m) eltüntető/lenullázó szorzók épp a mod(m) additív rend többszörösei; még rövidebben az additív rend osztója minden 0-t adó szorzónak (és csak ezeknek).
3. Mivel o⁺_m(i) (m,i) = m, ha m ≠ 0; és (m,i) egész, az oszthatóság definíciója szerint a rend osztója a modulusnak. Egyenlőség tényleg csak akkor van, ha (m,i) = 1, azaz a modulus és a szám relatív prímek.
- Maradékosztályokra vonatkozó, csoportelméleti tárgyalásban: a modulus egy 0-t adó többszöröző szám minden maradékosztályra, így a rend ennek osztója (ez egy egyszerű csoportelméleti tételből következik). tehát arról van szó, hogy mivel a modulus mindig az additív rend többszöröse, ezért a modulus egy 0-t adó szorzó (az előző pont szerint).
- Csoportelméleti szemszögből ez a kijelentés úgy is interpretálható, hogy egy $\bar{i}_{m}$ maradékosztály akkor és csak akkor generátoreleme a $\left( \mathbb{Z}_{m} , + , \bar{0} \right)$ additív maradékosztály-csoportnak, ha redukált, azaz ha reprezentánsa(i) relatív prím(ek) a modulushoz.
4. Mivel , tehát 3. szerint és , így .
- Tehát összeg rendje osztója a rendek legkisebb közös többszörösének. Egyenlőség azonban nem mindig áll fönn: pl. $o^{+}_{12}(3+5) = o^{+}_{12}(8) = 3$ , holott $\left[ o^{+}_{12}(3) , o^{+}_{12}(5) \right] = \left[ 4, 12 \right] = 12$ .
5. Mivel $o^{+}_{m}(i)i \equiv 0 \pmod{m}$ és $o^{+}_{m}(j)j \equiv 0 \pmod{m}$ , szorozva az első kongruenciát j-vel, a másodikat i-vel, $o^{+}_{m}(i)ij \equiv 0 \pmod{m}$ és $o^{+}_{m}(j)ji \equiv 0 \pmod{m}$ , az első szerint i rendje, a második szerint j rendje „0-t adó többszörös” ij-re, tehát többszöröse ij rendjének: $o^{+}_{m}(ij) \ | \ o^{+}_{m}(i), o^{+}_{m}(j)$ is teljesül, tehát ij rendje (közös) osztója mindkét rendnek, és ezért osztója a legnagyobb közös osztójuknak is.