Algebra

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematika egyik ága, melyet a matematikai műveletek általános tudományaként határozhatunk meg. A „művelet” fogalma a matematika minden ágában alapvető szerepet játszik, de magát a művelet általános fogalmát, és ezek fajtáit (tekintet nélkül konkrét alkalmazásukra) az algebra vizsgálja.

[szerkesztés] Részei

A klasszikus algebra a valós, illetve komplex együtthatós egyenletek, egyenlőtlenségek és egyenletrendszerek tanulmányozását jelenti.

A lineáris algebra a vektorok, mátrixok, vektorterek és lineáris leképezések tanulmányozása. Tekinthető az absztrakt algebra egyik alágának is.

Az absztrakt algebra a műveletek és algebrai struktúrák általános tanulmányozása.

Az univerzális algebra az absztrakt algebrából nőtt ki, de a teljes matematika tárgyalható e tudományág "szemüvegén át". Alapfogalmai: az algebrában szerepet játszó leképezések (morfizmusok) és ezek invariánsai.

[szerkesztés] Története

Történetileg az ókorban számelméletből kezdett kialakulni (ezt azonban nem tartjuk az algebra ágának). Az első algebristának Diophantosz ókori görög tudóst tarthatjuk, aki műveiben egyenletek megoldását rendszerszerűen tárgyalta; de algebrai jellegűnek tartható felfedezéseket az indiai és kínai matematikusok is tettek (ezek azonban ismeretlenségük miatt nem gyakoroltak hatást az európai civilizációra, a görögökével ellentétben). A görög matematikának a pitagoreus iskola, illetve más iskolák működésének hatására bekövetkezett geometrizálása azonban megakasztotta a tiszta algebra kifejlődését.

Újabb lépést az arabok tettek, akik szintén elsősorban egyenletek megoldását vizsgálták. Az "algebra" maga is arab eredetű szó, Mohamed ibn Musa al-Kvarizmi, "Hisab al-dzsabr walmukabala" (szó szerint "A rövidítés és törlés tudománya") című könyvében fordul elő először. A könyv az első- és másodfokú egyenletek felállításával és megoldásával foglalkozik. A klasszikus (vagy aritmetikus) algebrában az aritmetika műveletei használatosak.

A római uralom és a kora középkor relatíve (az előző korok teljesítményéhez képest) a matematika hanyatlását jelentette Európában. Az 1500-as években azonban ismét közbeszéd tárgya lett művelt körökben az egyenletmegoldás, Cardano, Tartaglia és mások eredményeket értek el a harmadfokú egyenletek megoldása terén. Ez lett a komplex számok tanulmányozásának alapja is, bár utóbbi igazából csak jóval később, az 1800-as évektől kezdve következett be. A huszadik század elejére más algebrai fogalmak is megjelentek (csoportok, vektorok és lineáris terek stb.)

Az absztrakt algebra, amit a 19–20. században dolgoztak ki - kezdeményezői elsősorban az angol, később "algebrai"-nak nevezett iskola matematikusai, de később a franciák vették át a vezető szerepet (Bourbaki-csoport) az úgynevezett algebrai struktúrák vizsgálatával foglalkozik (az absztrakt algebrában az „algebra” szó jelenthet egy ilyen (absztrakt) algebrai struktúrát is, ld. algebra (egyértelműsítő lap)). Az algebrai struktúrák vizsgálata az általános értelemben vett műveletek, illetve műveleti tulajdonságok vizsgálatát jelenti. Itt tehát már nem követeljük meg, mint a klasszikus algebrában, hogy a műveleteket számokon hajtsuk végre, definiálhatunk műveleteket tetszőleges elemeken (például halmazokon, leképezéseken, és így tovább). A legáltalánosabban, illetve legelőször vizsgált műveleti tulajdonságok a klasszikus algebrából már jól ismert műveleti tulajdonságok: a kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás stb. voltak.

[szerkesztés] Példák

William Rowan Hamilton (1805–1865) dolgozta ki a kvaterniók algebráját, Arthur Cayley és mások a mátrixalgebrát, George Boole pedig a róla elnevezett halmazalgebrát. A nem-asszociatív algebrákra az aritmetika asszociatív szabályai nem igazak, ennek egy példája a Jordan algebra, amit Camille Jordan francia matematikusról (1838–1922) neveztek el.