Integrálszámítás

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az integrálszámítás tágabb értelemben a matematika analízis nevű ágának a része, újabb és szűkebb értelemben azonban csak a primitív függvények meghatározásának módszertanát és technikáit értjük alatta. Eredeti tárgykörét a XX. században jelentős eredményekkel gazdagított mérték- és integrálelmélet fogadta magába.

A matematikában az integrál fogalma alatt általában a valós függvénytan kalkulusán belül oktatott, Riemann-féle integrál fogalmát értjük, és az integrálszámítás szűkebb értelemben vett célja valós függvények primitív függvényeinek meghatározása, és ezek alkalmazása különféle (pl. geometriai és statikai) problémák megoldásában.

[szerkesztés] Alapintegrálok

Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket.

$\int x^n\,dx$	$=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$	$(x\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N})$
$\int x^\alpha\,dx$	$=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c$	$(x\in\mathbb{R}^+,-1\neq\alpha\in\mathbb{R})$
$\int\frac{1}{x}\,dx$	$=\,\ln\|x\|+c$	$(0\neq x\in\mathbb{R})$
$\int e^x\,dx$	$=\,e^x+c$	$(x\in\mathbb{R})$
$\int a^x\,dx$	$=\frac{a^x}{\ln a}+c$	$(x\in\mathbb{R},1\neq a\in\mathbb{R}^+)$
$\int\sin x\,dx$	$=-\cos x\,+c$	$(x\in\mathbb{R})$
$\int\cos x\,dx$	$=\sin x\,+c$	$(x\in\mathbb{R})$
$\int\frac{1}{\sin^2x}\,dx$	$=-\mathrm{ctg}\,x\,+c$	$(k\pi\neq x\in\mathbb{R},k\in\mathbb{Z})$
$\int\frac{1}{\cos^2x}\,dx$	$=\mathrm{tg}\,x\,+c$	$(\frac{k\pi}{2}\neq x\in\mathbb{R},k\in\mathbb{Z})$
$\int\mathrm{sh}\, x\,dx$	$=\mathrm{ch}\,x\,+c$	$(x\in\mathbb{R})$
$\int\mathrm{ch}\, x\,dx$	$=\mathrm{sh}\, x\,+c$	$(x\in\mathbb{R})$
$\int\frac{1}{\mathrm{sh}^2x}\,dx$	$=-\mathrm{cth}\, x\,+c$	$(0\neq x\in\mathbb{R})$
$\int\frac{1}{\mathrm{ch}^2x}\,dx$	$=\mathrm{th}\, x\,+c$	$(x\in\mathbb{R})$
$\int\frac{1}{1+x^2}\,dx$	$=\mathrm{arc\,tg}\, x\,+c$	$(x\in\mathbb{R})$
$\int\frac{1}{1-x^2}\,dx$	$=\frac{1}{2}\ln\left\|\frac{x+1}{x-1}\right\|+c$	$=\left\{{\mathrm{ar\,th}\,x+c\quad(1>\|x\|\in\mathbb{R})\atop\mathrm{ar\,ch}\,x+c\quad(1<\|x\|\in\mathbb{R})}\right.$
$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$	$=\mathrm{arc\,sin} x\,+c$	$(1>\|x\|\in\mathbb{R})$
$\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$	$=\mathrm{ar\,sh}\,x+c$	$(x\in\mathbb{R})$
$\int\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,dx$	$=\ln\left\|x+\sqrt{x^2-1}\right\|+c$	$=\left\{\;{\mathrm{ar\,ch}\,x+c\quad\quad(1<x\in\mathbb{R})\atop\!-\mathrm{ar\,ch}(-x)+c\quad(1>x\in\mathbb{R})}\right.$

[szerkesztés] Általános integrálási szabályok

[szerkesztés] Tagonkénti integrálás

A tagonkénti integrálás az integrálandó lineáris kifejezések széttagolhatóságát jelenti, a következő műveleti tulajdonságok folytán:

Additivitás

Összegfüggvény (különbségfüggvény) primitív függvénye a tagok primitív függvényeinek összege (különbsége).

$\int(f(x)\pm g(x))\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$

Homogenitás

Függvény konstansszorosának primitív függvénye a függvény primitív függvényének konstansszorosa.

$\int c\,f(x)\,dx=c\int f(x)\,dx$

Tagonként integrálható függvények például a polinomfüggvények.

[szerkesztés] Parciális integrálás

Fő szócikk: Parciális integrálás

A vizsgált intervallumon folytonosan differenciálható f és g függvények esetén

$\int f(x)\,g'(x)\,dx=f(x)\,g(x)-\int f'(x)\,g(x)\,dx$

Parciálisan integrálhatók pl. a sinⁿ x, cosⁿ x, e^xsinⁿ x és e^xcosⁿ x függvények, továbbá P(x) valós polinomfüggvény esetén parciálisan integrálható:

$P(x)\,e^x\qquad f(x)=P(x),\ g'(x)=e^x$ választással;

$P(x)\ln x\qquad f(x)=\ln x,\ g'(x)=P(x)$ választással;

$P(x)\sin x\qquad f(x)=P(x),\ g'(x)=\sin x$ választással;

$P(x)\cos x\qquad f(x)=P(x),\ g'(x)=\cos x$ választással;

$P(x)\,\mathrm{arc\,sin}\;x\qquad f(x)=\mathrm{arc\,sin}\;x,\ g'(x)=P(x)$ választással;

$P(x)\,\mathrm{arc\,tg}\;x\qquad f(x)=\mathrm{arc\,tg}\;x,\ g'(x)=P(x)$ választással.

[szerkesztés] Helyettesítéses integrálás

Fő szócikk: helyettesítéses integrálás

A vizsgált intervallumon folytonos f és folytonosan differenciálható g függvény esetén, ha F = ∫ f(x) dx, akkor

$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C$

Megjegyzés. A helyettesítést az f( g(x) ) g(x) alakú integrandus esetén konkrétan is elvégezhetjük, ha bevezetjük a t = g(x) új integrálási változót. Ennek differenciálja pont dt = g(x) dx, így ekkor az integrál ∫ f(t) dt alakot ölt:

$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\left.\int f(t)\,dt\,\right|_{t=g(x)}=F(t)\Big|_{t=g(x)}+C=F(g(x))+C$

Nevezetes alesetek:

$\int f(ax+b)\,dx$	$=\frac{F(ax+b)}{a}+C$	(a lineáris belső függvény esete)
$\int [g(x)]^\alpha\,g'(x)\,dx$	$\ =\frac{[g(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$	$(\alpha\neq-1)$
$\int\frac{g'(x)}{g(x)}\,dx$	$\ =\ln\|g(x)\|+C$
Az utolsó példa konkrét alkalmazásaiként kapjuk, hogy
$\int\mathrm{tg}\;x\,dx$	$=-\int\frac{\cos'(x)}{\cos(x)}\,dx$	$\ =-\ln\|\cos x\|+C$
illetve
$\int\mathrm{ctg}\;x\,dx$	$=\int\frac{\sin'(x)}{\sin(x)}\,dx$	$=\ \ln\|\sin x\|+C$

[szerkesztés] Speciális integrálási módszerek

[szerkesztés] Racionális törtfüggvények integrálása

Egy valós változóból és valós számokból a négy alapművelettel képzett, végső soron két polinom hányadosaként előálló $\,R(x)$ racionális törtfüggvény integrálása a következő lépésekben történhet:

A valós együtthatós racionális $\,R(x)$ törtfüggvényt maradékos osztással az $R(x)=r(x)+\frac{P(x)}{Q(x)}$ alakra hozzuk, ahol a $\,P(x)$ polinom fokszáma már kisebb, mint a $\,Q(x)$ polinom fokszáma.
A $\,Q(x)$ nevezőt első- és (negatív diszkriminánsú) másodfokú főpolinomok egyértelműen előálló szorzatára bontjuk:

$Q(x)=a_0(x-a_1)^{k_1}\cdots(x-a_n)^{k_n}(x^2-b_1x-c_1)^{l_1}\cdots(x^2-b_mx-c_m)^{l_m}$
A $\frac{P(x)}{Q(x)}$ törtet a $\,Q(x)$ faktorainak megfelelő parciális törtek összegére bontjuk fel: $\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_{11}}{x-a_1}+\frac{A_{12}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1k_1}}{(x-a_1)^{k_1}}+\cdots$ $\cdots+\frac{A_{n1}}{x-a_n}+\frac{A_{n2}}{(x-a_n)^2}+\cdots+\frac{A_{nk_n}}{(x-a_n)^{k_n}}+$ $+\frac{B_{11}x+C_{11}}{x^2+b_1x+c_1}+\cdots+\frac{B_{1l_1}x+C_{1l_1}}{(x^2+b_1x+c_1)^{l_1}}+\cdots$ $\cdots+\frac{B_{m1}x+C_{m1}}{x^2+b_mx+c_m}+\cdots+\frac{B_{ml_m}x+C_{ml_m}}{(x^2+b_mx+c_m)^{l_m}}$ A parciális törtek $\,A_{ij},B_{ij},C_{ij}$ együtthatói a megfelelő lineáris egyenletrendszer megoldásával számíthatók ki.
A parciális törtekre bontott kifejezést tagonként integráljuk a következő összefüggések alapján:
- $\int\frac{A}{x-a}\,dx=A\ln|x-a|$
- $\int\frac{A}{(x-a)^k}\,dx=\frac{A}{(1-k)(x-a)^{k-1}}\quad(1<k\in\mathbb{N})$
- $\int\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}\,dx=\frac{B}{2}\ln|x^2+bx+c|+\frac{C-\frac{Bb}{2}}{\sqrt{c-\frac{b^2}{4}}}\,\arctan\frac{x+\frac{b}{2}}{\sqrt{c-\frac{b^2}{4}}}$
- $\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^l}\,dx=\frac{B}{2}\frac{(x^2+bx+c)^{1-l}}{1-l}+(C-\frac{Bb}{2})\int\frac{1}{(x^2+bx+c)^l}$
  Az utolsó integrandus nevezőjében lévő másodfokú polinomot pedig teljes négyzetté alakítva, a megfelelő helyettesítéssel az integrál $I_l=\int\frac{1}{(t^2+1)^l}$ alakúra hozható, amelyet a következő rekurziós formula segítségével számíthatunk ki:
  $I_l=\frac{1}{2l-2}\frac{t}{(t^2+1)^{l-1}}+\frac{2l-3}{2l-2}I_{l-1}$

[szerkesztés] Trigonometrikus függvények integrálása

Trigonometrikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett $\,R(\sin x,\cos x)$ racionális kifejezések integrálása a $t=\tan\frac{x}{2}$ helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$ ; $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ és $dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt$ adódik.

[szerkesztés] Exponenciális függvények integrálása

Az exponenciális függvényből és valós számokból a négy alapművelettel képzett $\,R(e^x)$ racionális kifejezések integrálása a $\,t=e^x$ helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből $dx=\frac{1}{t}\,dt$ adódik.

[szerkesztés] Hiperbolikus függvények integrálása

Hiperbolikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett $\,R(\sinh x,\cosh x)$ racionális kifejezések integrálása a $t=\tanh\frac{x}{2}$ helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből $\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}$ ; $\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}$ és $dx=\frac{2}{1-t^2}\,dt$ adódik.

Minthogy azonban a hiperbolikus függvények voltaképpen speciális exponenciális függvények, az exponenciális függvények integrálási módszere is alkalmazható rájuk.

[szerkesztés] Irracionális függvények integrálása

A négy alapműveleten kívül gyökvonást vagy törtkitevőt is tartalmazó irracionális kifejezések integrálása a megfelelő helyettesítéssel sok esetben szintén visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására. A legfontosabb esetek a következők:

$R(x,\sqrt{a^2-x^2})$ alakú kifejezés integrálása $\frac{x}{a}=\sin t$ helyettesítéssel;

$R(x,\sqrt{a^2+x^2})$ alakú kifejezés integrálása $\frac{x}{a}=\sinh t$ helyettesítéssel;

$R(x,\sqrt{x^2-a^2})$ alakú kifejezés integrálása $x\geq0$ esetén $\frac{x}{a}=\cosh t$ , illetve $x\leq0$ esetén $\frac{x}{a}=-\cosh t$ helyettesítéssel;

$R(x^\frac{p_1}{q_1},\dots,x^\frac{p_n}{q_n})$ alakú kifejezés integrálása $\,x=t^q$ helyettesítéssel, ahol $\,q$ a kitevők $q_1,\dots,q_n$ nevezőinek legkisebb közös többszöröse.

[szerkesztés] Az Euler-féle helyettesítések

$R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ alakú irracionális kifejezések integrálása a következő helyettesítések valamelyikével általában visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására:

$\sqrt{ax^2+bx+c}=t\pm x\sqrt{a}\qquad(a>0)$ ;

$\sqrt{ax^2+bx+c}=tx\pm x\sqrt{c}\qquad(c>0)$ ;

$\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-x_0),$ ahol $\,x_0$ az $\,ax^2+bx+c$ polinom valós gyöke.

[szerkesztés] A határozott integrál alkalmazásai

[szerkesztés] Területszámítás

[szerkesztés] Görbe alatti terület

Az $\int_a^b f(x)\,dx$ határozott integrál geometriai jelentése: az $x = a$ , $x = b$ , $y = 0$ egyenesek és az $y = f (x)$ függvénygörbe által határolt síkidom előjeles területe (abban az értelemben, hogy az x-tengely alá eső területrészt az integrál negatív előjellel számolja). Ebből következik, hogy az $f (x)$ és $g (x)$ függvénygörbék, valamint az $x = a$ és $x = b$ egyenesek által határolt síkidom területe:

$\left|\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx\right|$

Az $x = x (t)$ , $y = y (t)$ , $t\in[a,b]$ paraméteres alakban megadott görbe alatti terület:

$\int_a^b x'(t)y(t)\,dt$

[szerkesztés] Szektorterület

Az $x = x (t)$ , $y = y (t)$ , $t\in[a,b]$ paraméteres alakban megadott görbéhez az origóból húzott szektor területe:

$\frac{1}{2}\int_a^b[x(t)y'(t)-x'(t)y(t)]\,dt$

Az $r=r(\varphi)$ , $\varphi\in[\alpha,\beta]$ polárkoordinátás alakban megadott görbéhez az origóból húzott szektor területe:

$\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\varphi)\,d\varphi$

[szerkesztés] Ívhosszszámítás

Ha az $f (x)$ függvény az $[a, b]$ intervallumon differenciálható, és $f'(x)$ ugyanitt folytonos, akkor a függvénygörbe hosszúsága az adott intervallumon:

$\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dt$

Az $x = x (t)$ , $y = y (t)$ , $t\in[a,b]$ paraméteres alakban megadott folytonos ív hossza:

$\int_a^b\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt$

Az $r=r(\varphi)$ , $\varphi\in[\alpha,\beta]$ polárkoordinátás alakban megadott folytonos ív hossza:

$\int_\alpha^\beta\sqrt{[r(\varphi)]^2+[r'(\varphi)]^2}\,d\varphi$

[szerkesztés] Térfogatszámítás

Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos $f (x)$ függvény írja le, akkor a forgástestnek a tengely $[a, b]$ szakaszára eső térfogata:

$\pi\int_a^bf^2(x)\,dx$

Az $x = x (t)$ , $y = y (t)$ , $t\in[a,b]$ paraméteres alakban megadott folytonos ív x-tengely körüli megforgatásával nyert forgástest térfogata:

$\pi\int_a^by^2(t)\,x'(t)\,dt$

[szerkesztés] Felszínszámítás

Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos $f (x)$ függvény írja le, akkor a tengely $[a, b]$ szakasza körüli palást felszíne:

$2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$

Az $x = x (t)$ , $y = y (t)$ , $t\in[a,b]$ paraméteres alakban megadott folytonos ív x-tengely körüli megforgatásával nyert forgástest palástjának felszíne:

$2\pi\int_a^by(t)\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt$

[szerkesztés] Súlypontszámítás

Az $f (x)$ függvénygörbe a és b abszcisszájú pontok által határolt ívének a súlypontja:

$x_s=\frac{\int_a^bx\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx}{\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx}\qquad y_s=\frac{\int_a^bf(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx}{\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx}$

Ugyanezen ív alatti lemez súlypontja:

$x_s=\frac{\int_a^bxf(x)\,dx}{\int_a^bf(x)\,dx}\qquad y_s=\frac{\int_a^bf^2(x)\,dx}{2\int_a^bf(x)\,dx}$

Az ívet az x-tengely körül megforgatva, a kapott forgástest súlypontjának abszcisszája pedig:

$x_s=\frac{\int_a^bxf^2(x)\,dx}{\int_a^bf^2(x)\,dx}$

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../i/n/t/Integr%C3%A1lsz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1s.html"

Kategória: Analízis