Calcolo dello zero di una funzione

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In matematica, e in particolare in analisi numerica, si presentano spesso problemi che richiedono di calcolare uno zero di una funzione di variabile reale $\,f(x)\,$ . Equivalentemente si usa l'espressione trovare una radice di una equazione della forma $\,f(x)=0\,$ , con f e x reali; a questa espressione si avvicina di più il termine inglese.

Questo problema si generalizza con la ricerca di un particolare valore per un vettore v variabile in uno spazio n-dimensionale, con n intero naturale, che sia la soluzione di un'equazione della forma $\,f(\mathbf{x})=0\,$ : per questo problema si preferisce parlare di algoritmi per la soluzione di equazioni, sottintendendo che questi metodi possono applicarsi sia ad equazioni lineari che ad equazioni non lineari. Taluni algoritmi per il calcolo di uno zero di una funzione reale possono essere direttamente generalizzati per risolvere equazioni non lineari.

Indice

1 Metodi di approssimazione per la soluzione di equazioni f(x)=0
2 Algoritmi specifici
3 Voci correlate
4 Collegamenti esterni

[modifica] Metodi di approssimazione per la soluzione di equazioni f(x)=0

I metodi per calcolare in modo approssimato le radici di una equazione (valori dell'incognita che soddisfano l'equazione) si articolano in due fasi: nella prima fase si separano le radici ovvero si determinano gli intervalli della retta reale che contengono una sola radice dell'equazione (si può utilizzare il metodo grafico), nella seconda fase si calcola un valore approssimato della radice dell'equazione applicando uno dei metodi di seguito descritti. Quando si sono separate le radici, ad esempio, si è trovato che la radice $α$ è compresa nell'intervallo $[a, b]$ abbiamo due valori approssimati uno per difetto $a$ ed uno per eccesso $b$ della radice. Si tratta di restringere l'intervallo in modo da ottenere valori più approssimati, secondo una approssimazione fissata. I procedimenti sono iterativi.

[modifica] Algoritmi specifici

Il metodo di ricerca della radice più semplice è il metodo di bisezione o metodo dicotomico. Si parte conoscendo un intervallo reale [a,b] che considerazioni precedenti garantiscono contenere una e una sola radice e con successive iterazioni si procede a progressivi dimezzamenti dell'intervallo contenete la radice. Alla prima iterazione si sceglie fra i sottointervalli [a, c] e [c, b], dove c = (a + b) / 2 è il punto a metà tra a e b, attraverso la valutazione del segno di f(c). La convergenza del procedimento è garantita, ma è lenta in quanto ha andamento lineare.

Il metodo delle tangenti (chiamato anche metodo di Newton o metodo di Newton - Raphson) si serve della approssimazione lineare (mediante la tangente) della funzione f in un intorno di una approssimazione corrente della radice. Questo porta alla relazione di ricorrenza

$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$ .

Questo metodo potrebbe non convergere se si parte da un valore della variabile x troppo lontano da una radice. Se però viene bene avviato converge più rapidamente del metodo di bisezione (la convergenza è quadratica). Inoltre questo metodo si generalizza facilmente ai problemi multidimensionali.

Se nel metodo delle tangenti si rimpiazza la derivata della funzione con una differenza finita, si ottiene il metodo delle secanti. Esso è caratterizzato dalla relazione di ricorrenza

$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} f(x_n)$ .

Questo metodo quindi non richiede il calcolo della derivata della funzione, ma presenta una convergenza più lenta (il suo ordine è circa 1,6).

Il metodo di falsa posizione in Fibonacci, chiamato anche metodo della regula falsi, è simile al metodo di bisezione, ma ad ogni iterazione invece di tagliare l'intervallo di appartenenza della radice in due parti uguali, lo bipartisce nel punto suggerito dalla formula del metodo delle secanti. Questo metodo eredita la robustezza del metodo della bisezione e la convergenza sovralineare del metodo delle secanti.