Controllori PID

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Il controllo Proporzionale-Integrativo-Derivativo (controllo PID) è un comune sistema in retroazione negativa impiegato nei sistemi di controllo (vedi anche controlli automatici).

Il controllore acquisisce in ingresso un valore da un processo industriale o altri apparati e lo confronta con un valore di riferimento. La differenza (o segnale di "errore") viene quindi utilizzata per assestare alcuni dati in ingresso al processo per giungere alla sua stabilizzazione e ritorno al punto di lavoro desiderato. Diversamente da un semplice controllore, il PID può assestare l'uscita di un sistema basandosi non solo sul segnale di errore, ma anche grazie alla sua "storia" (ovvero agendo con l'azione integrale del PID). I controllori PID non richiedono tecniche di progettazione matematiche avanzate e sono di facile settaggio, diversamente da più complessi algoritmi di controllo basati sulla teoria del controllo ottimo e del controllo robusto. Per quel che concerne il tuning dei parametri, regolando i 3 guadagni del PID tramite regole empiriche (metodi di Ziegler Nichols) è possibile ottenere controllori stabilizzanti veloci.

Indice 1 Rudimenti sul controllo in retroazione 1.1 Esempio 2 Modello del PID 3 Regole di Ziegler Nichols 3.1 Metodo A 3.2 Metodo B 4 PID digitale 5 Voci correlate 6 Bibliografia

[modifica] Rudimenti sul controllo in retroazione

Il controllo L.T.I. o L.I.T. in retroazione è essenzialmente un sistema di controllo formato:

• dalla cascata di controllore C(s) e processo P(s) il cui ingresso è l'errore E(s) tra riferimento R(s) e uscita del processo Y(s)
• dal processo P(s) la cui uscita Y(s) è prelevata da un compensatore dinamico C(s) (ottenuto come sintesi di un osservatore dello stato e di un controllo in retroazione dallo stato) che genera l'ingresso di controllo U(s) che andrà sommato al riferimento R(s).

[modifica] Esempio

Un classico esempio è costituito dall'impianto di riscaldamento di un'abitazione. Se si desidera ottenere una data temperatura (ad esempio 22°) mentre l'ambiente si trova a 18° per conoscere l'azione da eseguire (riscaldamento o raffreddamento dell'ambiente) occorrono due dati:

1. la temperatura a cui si trova l'ambiente;
2. la temperatura alla quale vogliamo portarlo.

Noti questi parametri si esegue la loro differenza, ovvero:

In questo caso il risultato è positivo (22° - 18° = +4°) e si procederà al riscaldamento dell'ambiente. Diversamente (in caso di risultato negativo) si procede al raffreddamento dell'ambiente. Se il risultato è invece nullo siamo nel cosiddetto punto di equilibrio.

[modifica] Modello del PID

La struttura del PID è essenzialmente un parallelo tra un blocco proporzionale (un semplice gain), un blocco derivativo (un derivatore) e un blocco integrale (integratore). Essendo un sistema lineare, nella sua forma tempo continua il PID è caratterizzato da una funzione di trasferimento del tipo:

Come ben noto è impossibile creare un derivatore puro, ovvero una funzione di trasferimento

Per ovviare a ciò si sostituisce il blocco derivativo, con un blocco che calcola la desivata ingegneristica: un derivatore è caratterizzato in frequenza da un amplificazione praticamente infinita per frequenze alte, considerando il rumore bianco agente su ogni frequenza, l'uscita di un derivatore puro è affetta oltremodo da rumore; inoltre risulta impossibile in termini pratici costruire una fdt con un eccesso zero poli positivo (non si possono avere più zeri che poli). La derivata ingegneristica quindi altro non è che un derivatore in banda base con un polo lontano (o due poli dipende se si vuole mantenere costante il guadagno ad alta frequenza o si vuole attenuare):

Il pid può quindi essere approssimato con una funzione di trasferimento del secondo ordine:

[modifica] Regole di Ziegler Nichols

Per il tuning dei parametri secondo le regole di Ziegler Nichols si prende in considerazione il modello teorico con l'introduzione di opportune costanti di tempo ottenute come rapporto tra guadagni:

Ziegler Nichols consigliano di porre:

• 
• 
• 

dove Tl e Kpl possono venir calcolati con due metodi differenti

[modifica] Metodo A

• Porre Kd e Ki a zero e cercare il guadagnoKpl che porti il sistema al limite di stabilità, ovvero quel guadagno che generi un segnale oscillante di periodo Tl

[modifica] Metodo B

• Porre al minimo l'azione integrale e derivativa e si pone Kp = Kp0 dove quest'ultimo è un valore di sicurezza cioè che garantisce transitori lenti e senza sovraelongazioni. A questo punto si misura la risposta indiciale (cioè la risposta del sistema ad un gradino) identificando i due parametri Kr e Tm e applicando le relazioni:
  • Kpl = 2KrKp0
  • Tl = 4Tm

I 2 parametri vengono misurati, a partire da un plot della risposta indiciale, dove Kr è la distanza lungo l'asse y tra l'intersezione della retta tangente alla curva e il valore 0 dell'uscita, mentre Tm è la distanza sull'asse t tra l'intersezione della retta tangente alla curva e il tempo che compete al valore medio dell'escursione dell'uscita

[modifica] PID digitale

Il PID trova applicazioni praticamente ovunque si voglia controllare in modo efficiente e veloce senza troppa precisione (soprattutto se si vuole fare inseguimento di traiettorie), quindi la naturale evoluzione tecnologica ha portato alla necessità di implementare il sistema su microprocessori. Il PID digitale è descritto tramite un opportuno modello DARMA o con una funzione di trasferimento discreta F(z)

[modifica] Voci correlate

• Sistemi dinamici
• Proprietà dei sistemi lineari tempo invarianti
• Trasformata di Laplace
• Z-trasformata
• sistemi dinamici lineari tempo invarianti
• sistemi dinamici lineari invarianti alla traslazione

[modifica] Bibliografia

• Marro G., Controlli automatici - 5a edizione, Zanichelli, 2004.