Proprietà dei sistemi lineari tempo invarianti

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Due proprietà fondamentali dei sistemi dinamici lineari tempo invarianti sono la raggiungibilità e la osservabilità. Se queste due proprietà sono verificate allora per il sistema di controllo (cioè il sistema ottenuto retroazionando il sistema dinamico LTI con un controllore LTI) esiste sempre un controllore che rende il sistema di controllo asintoticamente stabile

[modifica] Raggiungibilità e stabilizzabilità

Un sistema lineare tempo invariante è raggiungibile quando tutti i suoi stati sono raggiungibili, ovvero quando la matrice di raggiungibilità ha rango pieno, ovvero quando è verificato il PBHtest di raggiungibilità.

Un sistema LTI è raggiungibile se per ogni stato iniziale $x 0$ , lo stato generico $x$ è raggiungibile, cioè se per ogni stato iniziale $x 0$ esiste un ingresso u(t) che permette al sistema di raggiungere lo stato generico $x$ .

Criterio di Kalman

Un sistema LTI di dimensione $n$ è completamente raggiungibile se e solo se:

$\operatorname{rk}(R)=\operatorname{rk}[\begin{matrix} B | AB | A^{2}B | ... | A^{n-1}B\\ \end{matrix}]=n$

dove rk(R) indica il rango di R. Se rk(R)=n allora <->det(R)≠0. Qualora risulti che rk(R)=p<n allora ci saranno autovalori raggiungibili,quindi modificabili(in numero pari a n-p) e autovalori non raggiungibili,detti fissi,(in numero pari a p).Il sistema si dirà non completamente raggiungibile. Esempio:

Sistema con un ingresso(m=1) ed una variabile di stato(n=1)

A=a Matrice di dimensioni nxn quindi uno scalare a

B=b Matrice di dimensioni nxm quindi uno scalare b

Equazione di stato relativa x¹(t)=Ax(t)+Bu(t),avendo indicato con x¹(t) la derivata prima di x(t) rispetto al tempo

Matrice di Kalman(o di raggiungibilità) R=[b]

Se b≠0 allora rk(R)=n quindi sistema completamente raggiungibile

Se b=0 allora rk(R)≠n quindi sistema non completamente raggiungibile

Nel caso in cui b=0 allora l'equazione di stato diventa x¹(t)=Ax(t) Un siffatto sistema dicesi "Sistema Autonomo"

PBHtest di raggiungibilità

$rk[\begin{matrix} sI-A | B\\ \end{matrix}]=n$ per ogni $s \in \mathbb{C}$

Questa voce necessita di essere controllata (vedi l’elenco delle pagine da controllare). Per maggiori dettagli controlla la pagina di discussione. Se ti ritieni competente in materia, contribuisci a correggere questa pagina e poi rimuovi questo avviso. (pagina segnalata nel mese di novembre 2006)
Motivazione: il ruolo della seconda s non è definito.

che deriva dalla trasformata di Laplace dell' eq.

$\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)+Bu(t)\,$

ovvero

$sX(s)-x(0-)=AX(s)+BU(s)\,$

da cui, essendo sempre possibile moltiplicare uno scalare per la matrice identità

$(sI-A)X(s)=x(0^-) + BU(s)\,$

essendo X(s) e U(s) le trasformate di x(t) e u(t) ed essendo I la matrice unità n per n lo stato del sistema, nel dominio di Laplace, è quindi definito come:

$X(s)=(sI-A)^{-1} x(0^-) + (sI-A)^{-1} B U(s)\,$

Un sistema lineare tempo invariante è stabilizzabile se esiste una matrice di retroazione dallo stato che rende asintoticamente stabile il sistema complessivo. Questo è possibile se e solo se

Il sistema è completamente raggiungibile
Il sistema è non completamente raggiungibile con gli autovalori non raggiungibili asintoticamente stabili

Gli autovalori si dicono asintoticamente stabili se hanno:

parte reale negativa (Sistemi a Tempo Continuo)
modulo minore di 1 (Sistemi a Tempo Discreto)

In particolare la completa raggiungibilità di un sistema garantisce la stabilizzabilità in quanto il sottosistema non raggiungibile non esiste e quindi con la retroazione dallo stato è possibile allocare arbitrariamente gli autovalori della matrice A.

[modifica] Osservabilità e rilevabilità

Un sistema si dice completamente osservabile se e solo se ogni stato non nullo da luogo ad un'uscita libera non identicamente nulla,ovvero quando la matrice di osservabilità ha rango massimo, ovvero quando è verificato il PBHtest di osservabilità. Si ricordi che l'uscita di un sistema è somma del contributo dell'evoluzione libera,dipendente dallo stato iniziale,ed evoluzione forzata,dipendente unicamente dall'ingresso.

Condizione di completa osservabilità

Un sistema LTI di dimensione $n$ è completamente osservabile se e solo se:

PBHtest di Osservabilità

 per ogni

Se i test di osservabilità di cui sopra falliscono non necessariamente non si può osservare il sistema. Con riferimento alla decomposizione di Kalman rispetto alla osservabilità, se gli autovalori della parte inosservabile $A 11$ si trovano già in una parte del piano complesso "buono" (delimitata da un'ascissa passante per -a) detto appunto $\mathbb{C}b$ allora il sistema è $\mathbb{C}b$ rilevabile.

Un sistema è $\mathbb{C}b$ rilevabile se e solo se:

??

ovvero:

??

[modifica] Voci correlate

Sistemi dinamici
Proprietà dei sistemi lineari tempo invarianti
Controlli automatici
Trasformata di Laplace

[modifica] Bibliografia

E. Fornasini, G. Marchesini, Appunti di Teoria dei Sistemi, Edizioni Libreria Progetto, Padova, 2003.
A. Ruberti, S. Monaco, Teoria dei Sistemi - Appunti dalle lezioni, Pitagora Editrice, Bologna, 1998.
O.M. Grasselli, Proprietà strutturali dei sistemi lineari e stazionari, Pitagora Editrice, Bologna, 1978.

Ingegneria

Progetto Ingegneria - Bar degli ingegneri - L'ingegnere - I materiali - Le unità di misura
Settore Ingegneria Civile e Ambientale Ambiente e territorio - Civile - Geotecnica - Idraulica - Naturalistica - Sicurezza - Sismica - Strutturale - Trasporti	Settore Ingegneria Informazione Acustica - Biomedica - Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni	Settore Ingegneria Industriale Aerospaziale - Automazione - Biochimica - Chimica - Elettrica - Energetica - Gestionale - Industriale - Materiali - Meccanica - Navale - Nucleare - Processi di produzione
Categorie ingegneristiche Aerospaziale - Automazione - Biomedica - Chimica - Civile - Comunicazioni - Elettrica - Geotecnica - Gestionale - Idraulica - Industriale - Informatica - Materiali - Meccanica - Navale - Nucleare - Sismica - Strumentale - Strutturale - Termotecnica - Territorio - Trasporti