Costante di Eulero-Mascheroni

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La costante di Eulero - Mascheroni è una costante matematica, usata principalmente nella teoria dei numerie nell'analisi matematica.

E' definita come limite della differenza tra la serie armonica troncata e il logaritmo naturale:

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \ln(n) \right)$

che possiamo riscrivere nella seguente forma

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right)=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx$

dove $\lfloor x\rfloor$ è la funzione parte intera.

La sua valutazione approssimata è

γ ≈ 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...

Non è noto se γ sia un numero razionale o meno. Tuttavia se si suppone che γ sia razionale, l'analisi in frazioni continue dimostra che il suo denominatore ha più di 10²⁴²⁰⁸⁰ cifre (Havil, pagina 97).

Le costanti di Stieltjes sono una generalizzazione di tale costante.

[modifica] Rappresentazione integrale

La costante può essere definita in più modi attraveso gli integrali

$\gamma = - \int_0^\infty { \ln(x) \over e^x }\,dx.$

$= - \int_0^1 { \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx$

$= \int_0^\infty {\left (\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x} \right )e^{-x} }\,dx$

$= \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx.$

Altri integrali collegati con $γ$ sono:

$\int_0^\infty { e^{-x^2} \ln(x) }\,dx = -1/4(\gamma+2 \ln 2) \sqrt{\pi}$

$\int_0^\infty { e^{-x} (\ln(x))^2 }\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6} .$

[modifica] Collegamento con le funzioni speciali

La Costante di Eulero-Mascheroni è collegata con molte funzioni speciali come la Funzione zeta di Riemann, la Funzione gamma e la Funzione beta. Per esempio la costante è collegata alla funzione zeta dalle seguenti formule

$\gamma = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m\zeta(m)}{m}$

$\gamma = \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} \zeta(m+1)}{2^m (m+1)}.$

$\gamma = \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right ) = \lim_{s \to 1} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right )$

La costante è poi legata alla funzione gamma:

$\gamma = \lim_{x \to \infty} x - \Gamma \left ( \frac{1}{x} \right )$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^n \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right ).$

E alla funzione beta:

$\gamma = \lim_{n \to \infty} \beta(\frac{1}{n},n+1) n^{1+1/n} - \frac{n^2}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1}$