Formula di Viète

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Per le formule che mettono in relazione le radici e i coefficienti di un polinomio si veda l'articolo Formule di Viète .

In matematica, la formula di Viète, così denominata in onore del matematico francese François Viète (1540-1603), è la seguente rappresentazione mediante prodotto infinito della costante matematica π:

$\frac2\pi= \frac{\sqrt2}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\cdots$

L'espressione sulla destra deve essere intesa come espressione limite (per $n \rightarrow \infty$ )

$\lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{i=1}^n {a_i \over 2}$

dove a_n è il radicale quadratico dato dalla formula ricorsiva $a_n=\sqrt{2+a_{n-1}}$ con condizione iniziale $a_1=\sqrt{2}$ .

[modifica] Dimostrazione

Consideriamo la formula di duplicazione per la funzione seno

$\, \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ .

Applichiamola due volte per esprimere il seno dell'angolo quadruplo

$\, \sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x) = 4 \sin(x)\cos(x)\cos(2x)$ .

Applicandola reiteratamente si ottiene l'identità

${{\sin(2^n x)}\over {2^n \sin(x)}}=\prod_{i=0}^{n-1} \cos(2^i x)$

valido per tutti gli interi positivi n (la dimostrazione dettagliata si ottiene con lo schema di dimostrazione per induzione). Ponendo y := x 2ⁿ e dividendo entrambi i membri per cos(y/2) si ottiene

${{\sin( y)}\over {\cos({y\over 2} )}}\cdot{1\over {2^n \sin({y\over {2^n}})}}=\prod_{i=1}^{n-1} \cos\left({y\over {2^{i+1}}}\right).$

Usando di nuovo la formula di duplicazione sin y=2sin(y/2)cos(y/2) otteniamo

${{2\sin({y\over 2})}\over {2^n \sin({y\over {2^n}})}}=\prod_{i=1}^{n-1} \cos\left({y\over {2^{i+1}}}\right).$

Nel caso particolare y = π si ottiene l'identità

${2\over {2^n \sin({\pi \over {2^n}})}}=\prod_{i=2}^{n} \cos\left({\pi\over {2^i}} \right) \ .$

Rimane da collegare i fattori del secondo membro di questa identità con i termini a_n introdotti inizialmente. Utilizzando la formula della bisezione dell'angolo per il coseno,

$2\cos(x/2)=\sqrt{2+2\cos x},$

se ne deriva che $b_i:=2\cos\left({\pi\over {2^{i+1}}}\right)$ soddisfa la formula ricorsiva $\,b_{i+1}=\sqrt{2+b_i}$ con condizione iniziale $b_1= 2\cos\left({\pi \over 4}\right)=\sqrt{2}=a_1$ . Quindi a_n=b_n per tutti gli interi positivi n.

La Formula di Viète segue considerando il limite n → ∞. Notiamo infatti che

$\lim_{n \rightarrow \infty} {2\over {2^n \sin({\pi \over {2^n}})}}= \lim_{n \rightarrow \infty} {2\over \pi}\cdot {{\pi\over 2^n}\over { \sin({\pi \over {2^n}})}}= {2\over \pi}$