Serie di Fourier

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In matematica una serie di Fourier è una rappresentazione di una funzione periodica (che in una accezione con caratteristiche di semplicità si chiede abbia periodo 2π) mediante una somma di funzioni periodiche della forma

$x\mapsto e^{inx}$ ;

queste sono le potenze di $\,e^{ix}\,$ , cioè le sue armoniche. Grazie alla formula di Eulero, la precedente serie può essere espressa equivalentemente mediante funzioni seno e coseno.

Esse sono così chiamate in onore del matematico francese Joseph Fourier (1768-1830), il quale fu il primo a studiare sistematicamente tali serie infinite (esse in precedenza erano state oggetto di investigazioni preliminari da parte di Eulero, d'Alembert, e Daniel Bernoulli). Fourier ha applicato queste serie alla soluzione dell'equazione del calore, pubblicando i suoi risultati iniziali nel 1807 e nel 1811 e l'opera più ampia, intitolata Théorie analytique de la chaleur nel 1822. Secondo il punto di vista moderno i risultati di Fourier sono a livello piuttosto informale, fatto imputabile in buona parte al fatto che la matematica negli anni iniziali del XIX secolo non aveva sviluppata una nozione precisa di funzione e di integrale. Solo dopo la metà del secolo Dirichlet e Riemann hanno riformulato i risultati di Fourier con maggiore precisione e in forma più soddisfacente.

Successivamente sono state introdotte molte altre forme di trasformate collegate a quelle di Fourier. Queste nuove trasformate sono state utilizzate per altre applicazioni estendendo l'idea iniziale di rappresentare ogni funzione periodica come sovrapposizione di armoniche. I campi di indagine che si sono aperti ora in genere vengono fatti afferire alla cosiddetta analisi armonica o analisi in frequenza.

Indice

1 Definizione di serie di Fourier
2 Esempio
3 Convergenza delle serie di Fourier
4 Alcune conseguenze utili delle proprietà di omomorfismo della exp
5 Teorema di Parseval
6 Formulazione generale
7 Bibliografia
8 Voci correlate
9 Collegamenti esterni

[modifica] Definizione di serie di Fourier

Consideriamo una funzione di una variabile reale a valori complessi $\,f(x)\,$ che sia periodica con periodo $\ 2 \pi$ e a quadrato integrabile sull'intervallo $\,[0,2\pi]\,$ . Definiamo

$F_n := \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi dx\, f(x)\,e^{-inx}$ .

In tal caso la rappresentazione mediante serie di Fourier della $\,f(x)\,$ è data da

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx}$ .

Ciascuno dei termini di questa somma è chiamato modo di Fourier. Nell'importante caso particolare nel quale la $\,f(x)\,$ è una funzione a valori reali, spesso risulta utile servirsi dell'identità

$e^{inx} \,=\, \cos(nx)+i\sin(nx)$

per rappresentare equivalentemente $\,f(x)\,$ come combinazione lineare infinita di funzioni della forma $\,\cos(nx)\,$ e $\,\sin(nx)\,$ , cioè come

$f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$ ,

dove

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi dx\, f(x)\cos(nx) \quad\mbox{e}\quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi dx\, f(x)\sin(nx)$ ;

questa si riconduce alla precedente rappresentazione mediante le

$\,F_n = \frac{a_n - i b_n}{2} \quad\mbox{e}\quad F_n = F_{-n}^*$ .

[modifica] Esempio

Consideriamo la funzione $\,f(x) = x\,$ , funzione identità per la $\,x \in[-\pi,\pi]\,$ . Se si vuole considerare il suo sviluppo all'esterno di questo dominio la serie di Fourier richiede implicitamente che questa funzione sia periodica.

Vogliamo calcolare i coefficienti di Fourier di questa funzione. Conviene osservare subito che $\,\cos(nx)\,$ è una funzione pari, mentre la nostra f e $\,\sin(nx)\,$ sono funzioni dispari.

$a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x dx= 0$

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)dx = 0$

$b_n= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)dx =$

$=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx) dx= \frac{2}{\pi}\left( \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi}+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^{\pi} \right)=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}$

Si osservi che $\,a_0\,$ e $\,a_n\,$ sono nulli in quanto x e $\,x\cos(nx)\,$ sono funzoni dispari. Quindi la serie di Fourier per la funzione in esame è:

$f(x)=x=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) =$

$=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)$

Può essere interessante vedere l'applicazione della serie di Fourier al calcolo del valore $\,\zeta(2)\,$ della funzione zeta di Riemann.

[modifica] Convergenza delle serie di Fourier

Mentre i coefficienti di Fourier $\,a_n\,$ e $\,b_n\,$ si possono definire formalmente per ogni funzione per la quale ha senso considerare gli integrali che forniscono i loro valori, se la serie così definita converga effettivamente alla $\,f(x)\,$ dipende dalle proprietà specifiche di tale funzione.

La conclusione più semplice si ha quando la $\,f(x)\,$ è a quadrato integrabile; in tal caso

$\lim_{N\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^\pi\left|f(x)-\sum_{n=-N}^{N} F_n\,e^{inx}\right|^2\,dx=0$

(cioè si ha la convergenza nella norma dello spazio L²).

Si conoscono anche molti criteri che consentono di garantire che la serie converga in un dato punto x. Ad esempio, se la funzione è differenziabile in x. Anche una discontinuità con salto non pone problemi: se la funzione possiede derivate a sinistra e a destra in x, allora la serie di Fourier converge al valore medio dei limiti a sinistra e a destra. Tuttavia si può riscontrare il fenomeno Gibb.

Peraltro si ha una possibilità che molti trovano sorprendente: la serie di Fourier di una funzione continua può non convergere punto per punto. Una discussione del controesempio, insieme ad altri risultati positivi e negativi che seguono lo schema generale "per funzioni di tipo X la serie di Fourier converge nel senso Y" si può trovare nell'articolo dedicato espressamente alla Convergenza delle serie di Fourier.

[modifica] Alcune conseguenze utili delle proprietà di omomorfismo della exp

Come conseguenza del fatto che le "funzioni base" $\,e^{ikx}\,$ sono omomorfismi della retta reale, o più precisamente, del gruppo della circonferenza, valgono alcune utili identità:

$g(x)=f(x-y) \,\!$

allora, denotando con G la trasformata della g,

$G_k \,=\, e^{-iky}F_k$ .

Se $\,H_k\,$ è la trasformata della $\,h = f * g \,$ , allora

$H_k \,=\, F_k G_k$ ,

cioè la trasformata di Fourier di una convoluzione è il prodotto delle trasformate di Fourier. Viceversa, se $\,h = fg\,$ , allora la trasformata di Fourier H of h è la convoluzione delle trasformate di Fourier della f e della g:

$H_k=\sum_{i=-\infty}^\infty F_i\, G_{k-i}$ .

[modifica] Teorema di Parseval

Un'altra importante proprietà delle serie di Fourier è il teorema di Parseval, un caso particolare del teorema di Plancherel e una forma di unitarietà:

$\ ||F||^2= \sum_{n=-\infty}^\infty |F_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 dx \,$ .

$| | F | | 2 : =$ Norma al quadrato della funzione (Che in fisica si chiama energia del segnale). In particolare per la precedente funzione a valori reali f(x):

$\frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left( a_n^2 + b_n^2 \right) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)^2 dx$ .

L'identà ha un significato molto importante ed è relativo esclusivamente alla norma al quadrato: essa eguaglia una funzione periodica alla serie di Fourier corrispondente.

[modifica] Formulazione generale

Le proprietà delle serie di Fourier utili sul piano computazionale in senso lato sono in gran parte conseguenze dalle proprietà di ortogonalità e di omomorfismo delle funzioni $\,e^{inx}\,$ . Molte altre successioni di funzioni ortogonali hanno proprietà simili; purtroppo però in questi casi si perdono utili identità (ad es. quelle concernenti le convoluzioni) che discendono dalla proprietà di omomorfismo.

Esempi di utili funzioni ortogonali includono le successioni di funzioni di Bessel e i polinomi ortogonali. Tali successioni spesso corrispondono a soluzioni di una equazione differenziale; un'ampia classe di successioni utili sono soluzioni dei cosiddetti problemi di Sturm-Liouville. Essi si riconducono anche alle soluzioni di equazioni di Schrödinger della meccanica ondulatoria.

[modifica] Bibliografia

Yitzhak Katznelson (1976): An introduction to harmonic analysis, Second corrected edition. Dover Publications, ISBN 0486633314

[modifica] Voci correlate

[modifica] Collegamenti esterni

Fourier series example problems in exampleproblems.com
Java applet che visualizza lo sviluppo in serie di Fourier di una qualsiasi funzione

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