Sudé a liché funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice se některé funkce označují jako sudé, některé jako liché funkce. Takové funkce vykazují jisté druhy symetrie. Existuje však mnoho funkcí, které nejsou ani liché, ani sudé.

Obsah

1 Sudé funkce
2 Liché funkce
3 Vlastnosti
4 Podívejte se též na

[editovat] Sudé funkce

Funkce f(x) je sudá funkce, pokud pro všechna x, pro která je f(x) definováno, je definováno i f(−x) a platí

f(x) = f(−x)

To znamená, že graf sudé funkce je symetrický vůči ose y.

Mezi sudé funkce patří všechny mocninné funkce se sudou mocninou (např. x², x⁻⁴ atp.), dále také např. cos x, cosh x atd.

[editovat] Liché funkce

Funkce f(x) je lichá funkce, pokud pro všechna x, pro která je f(x) definováno, je definováno i f(−x) a platí

f(−x) = −f(x)

To znamená, že graf liché funkce je symetrický vůči počátku.

Mezi liché funkce patří všechny mocninné funkce s lichou mocninou (např. x, x³, x⁻⁵ atp.), dále také např. sin x, sinh x atd.

[editovat] Vlastnosti

[editovat] Základní vlastnosti

Jediná funkce, která je současně sudá i lichá, je konstantní funkce f(x) = 0 pro všechna x.
Součet liché a sudé funkce obecně není ani lichá ani sudá funkce.
Součet dvou sudých funkcí je sudá funkce, konstantní násobek sudé funkce je taktéž sudá funkce.
Součet dvou lichých funkcí je lichá funkce, konstantní násobek liché funkce je taktéž lichá funkce.
Součin dvou sudých funkcí je sudá funkce, součin dvou lichých funkcí je také sudá funkce.
Součin liché funkce a sudé funkce je lichá funkce.
Derivace sudé funkce je lichá funkce, derivace liché funkce je sudá funkce.

[editovat] Řady

Taylorova řada sudé funkce obsahuje pouze sudé mocniny, Taylorova řada liché funkce obsahuje pouze liché mocniny (odtud název).
Fourierova řada periodické sudé funkce obsahuje pouze kosinové členy, Fourierova řada periodické liché funkce obsahuje pouze sinové členy.

[editovat] Algebraické vlastnosti

Lineární kombinace sudých funkcí je sudá funkce, sudé funkce tvoří vektorový prostor nad reálnými čísly. Obdobně je lineární kombinace lichých funkcí lichá funkce a liché funkce tvoří vektorový prostor nad reálnými čísly. Vektorový prostor všech reálných funkcí je direktní součet vektorových prostorů sudých a lichých funkcí, libovolnou funkci lze tedy napsat jako součet liché a sudé funkce:

$f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}$