Insieme di Julia

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Un insieme di Julia

In analisi complessa, l'insieme di Julia di una funzione olomorfa consiste di tutti quei punti il cui comportamento dopo ripetute iterazioni della funzione è caotico, nel senso che può cambiare drasticamente in seguito ad una piccola perturbazione iniziale.

Il complementare dell'insieme di Julia nel piano complesso si chiama insieme di Fatou: è l'insieme dei punti il cui comportamento (sempre in seguito a ripetute iterazioni della funzione) è più stabile.

I nomi per questi insiemi si riferiscono ai matematici francesi Gaston Julia e Pierre Fatou, che iniziarono a studiare la dinamica delle funzioni olomorfe all'inizio del XX secolo, considerando il caso delle iterazioni di funzioni razionali.

[modifica] Polinomi quadratici

Alcuni insiemi di Julia al variare di c nell'insieme di Mandelbrot

Consideriamo ad esempio la funzione olomorfa, dipendente da un parametro complesso c:

f c (z) = z 2 + c

L'insieme di tutti i valori c per cui l'insieme di Julia di $f c$ è connesso forma il celebre insieme di Mandelbrot. Se c è fuori di questo insieme, l'insieme di Julia risulta essere omeomorfo all'insieme di Cantor

[modifica] Esempi

Tramite un calcolatore è possibile rappresentare la dinamica delle iterazioni. Qui di seguito viene rappresentata la dinamica dell'iterazione $z \rightarrow z^2+c$ per i valori

$c= \phi-2,\ \phi-2+(\phi-1)i,\ 0.285$

e quindi per

$c= 0.285 + 0.013i,\ 0.45 -0.1428i,\ -0.70176 -0.3842i,\ -0.835-0.2321i.$

[modifica] Curiosità

Come spesso succede in matematica, Julia e Fatou furono rivali, sviluppando contemporaneamente la teoria delle iterazioni razionali. Per ironia della sorte, oggi il loro nome viene portato da due insiemi complementari.

[modifica] Referenze

Commons contiene file multimediali su Insieme di Julia
(EN) Lennart Carleson and Theodore W. Gamelin, Complex Dynamics, Springer 1993
(FR) Adrien Douady and John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
(EN) John Milnor, Dynamics in One Complex Variable (terza edizione), Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press 2006 (comparso come preprint a Stony Brook nel 1990], disponibile come arXiV:math.DS/9201272.)