Logicismo

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Il logicismo è il tentativo di ridurre la matematica ai concetti ed alle regole della logica. Per lo sviluppo della matematica non sarebbero necessari altri concetti che quelli della logica, essendo la matematica fondamentalmente un'applicazione specifica delle leggi universali della logica. Ogni concetto, teorema e legge della matematica può essere quindi dedotto e dimostrato partendo dagli assiomi fondamentali della logica.

Questo pensiero si trova già in Gottfried Leibniz che cercava una "mathesis universalis", una scienza universale, da cui potessero essere dedotte tutte le altre scienze come istanze specifiche. Comunemente il logicismo viene associato soprattutto con Frege, Russell e Whitehead.

[modifica] Contesto storico

Agli inizi del 20mo secolo molti logici e matematici erano interessati a dare un nuovo fondamento alle discipline matematiche. A parte Frege, anche Richard Dedekind e Giuseppe Peano volevano ricondurre i concetti fondamentali della matematica, specialmente il concetto di numero, ai concetti della logica. Molti matematici famosi, quali Karl Weierstrass, Richard Kronecker, Hermann von Helmholtz etc., si erano pronunciati sul concetto di numero alla fine del 19mo secolo, spesso in senso più filosofico o perfino psicologico, tentando di ricondurre il concetto di numero a concetti di altri campi, come il tempo, lo spazio, etc. o cercando le sue origini nel processo di enumerazione. I due grandi schieramenti sono quello dello psicologismo e quello del formalismo. Il primo tenta di ridurre le leggi della matematica e della logica ai processi mentali, cercando di definire il concetto di numero in base a come sorge naturalmente nel pensiero. Il secondo pone assiomi che definiscono gli elementi base di un sistema e deducono i teoremi da essi secondo le leggi della logica, ottenendo però un sistema "nominalista", la cui applicazione alle scienze può essere messa in dubbio. Il logicismo, il quale sostiene che la matematica non ha un proprio dominio, ma tratta puramente di relazioni di idee e che queste relazioni siano analitiche, rientra in questa seconda categoria.

[modifica] Il tentativo di Frege

Nella formulazione del logico e matematico Gottlob Frege (1848-1925) il programma logicista si prefiggeva due obiettivi:

risolvere i concetti matematici, anche quelli considerati non ulteriormente definibili e perciò primitivi, in termini puramente logici;
dimostrare i teoremi della matematica mediante l'applicazione dei principi e delle regole di inferenza del ragionamento logico.

Mentre stava scrivendo il secondo volume dei "Principi dell'aritmetica", Frege ricevette una lettera in cui Bertrand Russell, uno dei pochi a dimostrare interesse per il programma dell'oscuro pensatore tedesco all'inizio del Novecento, gli comunicava un'antinomia fondamentale che vanificava la sua intera opera. L'antinomia è oggi nota con il nome di paradosso di Russell. Frege non si sarebbe più ripreso dal colpo infertogli da Russell e per il resto della sua vita si sarebbe tenuto lontano dal problema dei fondamenti della matematica. Infatti la teoria degli insiemi sviluppata da Georg Cantor e utilizzata da Frege può essere dimostrata internamente contradittoria tramite la definizione di un insieme molto particolare: l'insieme che contiene tutti gli insiemi che non contengono se stessi come membri ("The set of all sets that do not contain themselves as members"). La definizione di questo insieme porta al paradosso che questo insieme contiene e non contiene sé stesso, dimostrando che la definizione di insieme di Frege non poteva essere usata come fondamento certo della definizione del concetto di numero e quindi della matematica.

[modifica] Il tentativo di Russell

Al contrario di Frege, Russell si sarebbe cimentato, assieme al collega Alfred North Whitehead, nel tentativo di superare la sua stessa antinomia, dando alla luce i tre ponderosi volumi dei Principia Mathematica, pubblicati tra il 1910 e il 1913. Quest'opera rappresentò il più grandioso tentativo di realizzare il sogno fregeano di una fondazione logica della matematica, anzi lo spirito russelliano si dimostrò ancora più radicale di quello del suo predecessore nella misura in cui arrivò a coinvolgere la geometria, precedentemente esclusa da Frege.

La riduzione logicista fu raggiunta da Russell a costo di alcune ambiguità, che negli anni a seguire provocarono il progressivo disfacimento del sistema eretto nei Principia. Punti deboli della sistemazione russelliana si rivelarono:

il predicativismo della logica declinata da Russell nella teoria dei tipi a fronte del non predicativismo della matematica;
l'assioma dell'infinito, per cui esistono infiniti individui distinti;
l'assioma della scelta o moltiplicativo.

[modifica] Il fallimento del progetto logicista

Nonostante gli sforzi di Frank Plumpton Ramsey (1903-1930), il programma logicista si inaridì e venne soppiantato da altri approcci al problema dei fondamenti della matematica, quali il formalismo di Hilbert o l'intuizionismo di Poincaré e Brouwer. Il neo-logicismo, proposto tra l'altro da Crispin Wright, tenta di rianimare il programma logicista.

Ci sono vari argomenti contro il progetto logicista:

Il tentativo di ridurre la matematica alla logica fallisce perché la logica da sola non è sufficiente. Il logicismo adopera anche concetti dalla teoria degli insiemi che è ontologicamente più ricca della mera logica. Non esiste comunque una necessità a priori che garantisca l'esistenza dei vari strati di insiemi e insiemi di insiemi presupposti da Cantor, Frege e Russell.
Il tentativo di derivare la matematica dalla logica fallisce perché, come Kurt Gödel ha dimostrato con i suoi teoremi di incompletezza, ogni sistema sufficientemente complesso da fondare l'aritmetica, è ipso facto o incompleto o incoerente.

[modifica] Bibliografia

[modifica] Opere storiche

Cantor "Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen." Leipzig: B. G. Teubner.
Dedekind Stetigkeit und irrationale Zahlen ("Continuità e numeri irrazionali"), 1872
Dedekind "Was sind und was sollen die Zahlen?" Braunschweig, 1888
Frege Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle a. S., 1879
Frege Die Grundlagen der Arithmetik ("I fondamenti dell'aritmetica"): eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau, 1884
Frege Grundgesetze der Arithmetik ("Principi dell'aritmetica"), Jena: Hermann Pohle, Band I (1893), Band II (1903)
Helmholtz "Zählen und Messen", in Philosophische Aufsätze, Eduard Zeller gewidmet, 1887
Hilbert "Grundlagen der Geometrie",1899
Peano "Arithmetices principia, nova methodo exposita", Torino: Bocca, 1889
Russell "The Principles of Mathematics", Cambridge: University Press, 1903
Russell & Whitehead "Principia Mathematica", Cambridge: University Press, 3 vols, 1910, 1912, 1913