Moto browniano

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Il moto browniano è quello osservato su singole particelle componenti fluidi o sospensioni fluide.

Sebbene l'osservazione di questo fenomeno da parte di Jan Ingenhousz sia del 1785, esso venne riscoperto nel 1828 da Robert Brown (che osservò il moto del polline in una sospensione acquosa), per poi avere una trattazione matematica rigorosa solo agli inizi del Novecento con Louis Bachelier (1900 - Théorie de la spéculation, tesi di laurea) e Albert Einstein (1905 - Über die von der molekularkinetishchen Theorie der Warme gefordete Bewegung von in ruhenden Flussigkeiten suspendierten Teilchen, articolo - in italiano: Investigazioni sulla Teoria del moto browniano).

Indice

1 Trattazione matematica del moto Browniano
- 1.1 L'equazione di diffusione
- 1.2 L'equazione di Fokker-Planck
2 Brevi accenni al metodo di Bachelier: applicazioni al mercato finanziario
3 Bibliografia
4 Collegamenti esterni
5 Voci correlate

Quando un fluido si trova all'equilibrio termodinamico si potrebbe pensare che le molecole che lo compongono siano essenzialmente ferme o che comunque vibrino attorno alla loro posizione di equilibrio per effetto della temperatura. Se però si osserva il moto di un tale fluido, ad esempio disperdendovi delle particelle colorate molto leggere ed osservandone il movimento, si nota che queste sono tutt'altro che a riposo. Quello che si osserva è che ciascuna particella segue un moto assolutamente disordinato la cui natura appare essere indipendente dalla natura della particella stessa.

Questo è dovuto al fatto che la particella in questione subisce un gran numero di eventi di scattering (urti) da parte delle molecole del fluido in cui è immersa.

Quanto più piccole sono le particelle tanto più rapido è il moto browniano. Questo moto contrasta la forza di gravità e rende stabili le soluzioni colloidali. Questa caratteristica permette di valutare se una sospensione di particelle abbia carattere colloidale o no: infatti all'aumentare delle dimensioni delle particelle la dispersione colloidale si avvicinerà sempre più ad una sospensione in cui le risultanti degli urti con la fase disperdente sarà pressoché nulla, presentando un moto Browniano quasi nullo.

[modifica] Trattazione matematica del moto Browniano

Esempio della traiettoria seguita da una particella in moto browniano

Consideriamo una particella di massa M immersa in un fluido, all'equilibrio termodinamico, ad una temperatura T. Questa particella sarà soggetta:

ad un attrito viscoso $\vec{F}=-\lambda\vec{v}$ , dove $λ$ è il coefficiente di attrito viscoso e $\vec{v}$ è la velocità della particella stessa
alla forza risultante dagli urti con le molecole che compongono il fluido. Riguardo a questa forza aleatoria possiamo fare le seguenti ipotesi:

Isotropia: la forza non ha direzioni privilegiate e quindi $\left\langle\vec{f}(t)\right\rangle=0$ .
Scorrelazione: la forza fluttua continuamente ed in ogni momento non è correlata con il suo valore ad un istante precedente e quindi $\left\langle\vec{f}(t)\vec{f}(t')\right\rangle=\Lambda\delta (t-t')$ .
Gaussianità: la forza è il risultato di un numero molto alto di eventi tra di loro indipendenti e quindi, per il teorema del limite centrale può essere assunta essere distribuita gaussianamente.

La seconda legge della dinamica ( $\vec{F}=m\vec{a}$ ) può quindi essere riscritta come

$\frac{\operatorname d \vec{v}(t)}{\operatorname d t}=- \frac{\lambda}{M}\vec{v}(t)+\frac{\vec{f(t)}}{M}$

che ha come soluzione

$\vec{v}(t)=e^{-\frac{\lambda}{M}t}\left[\int_0^t \frac{1}{M}e^{\frac{\lambda}{M}t'}\vec{f}(t') \operatorname d t' +\vec{v}(0)\right]$

e quindi

$\left\langle\vec{v}(t)\right\rangle=\vec{v}(0)e^{-\frac{\lambda}{M}t}$ .

Integrando ancora la velocità si ottiene che lo spostamento è dato da

$\vec{r}(t)=\int^t_0 e^{-\frac{\lambda}{M}t'} \left[ \int_0^{t'} \frac{1}{M}e^{\frac{\lambda}{M}t''}\vec{f}(t'') \operatorname d t''+\vec{v}(0) \right] \operatorname d t'$

e quindi, prendendo la media sulla forza aleatoria $f (t)$ ,

$\left\langle\vec{r}^2(t)\right\rangle= \vec{r}^2(0) \frac{M^2}{\lambda^2}\left( e^{-\frac{\lambda}{M}t}-1 \right)^2 +\frac{\Lambda}{\lambda^2}t +\frac{2\Lambda M}{\lambda^3}\left( e^{-\frac{\lambda}{M}t}- \frac{1}{4}e^{-2\frac{\lambda}{M}t}-\frac{3}{4} \right)$

Per tempi lunghi ( $t\gg\frac{M}{\lambda}$ ) questa equazione si semplifica in

$\left\langle\vec{r}^2(t)\right\rangle\cong\frac{\Lambda}{\lambda^2}t=2Dt$

dove la costante definita da

$D=\frac{1}{2}~\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{\left\langle\vec{r}^2(t)\right\rangle}{t}$

è detta coefficiente di diffusione.

[modifica] L'equazione di diffusione

Macroscopicamente una particella soggetta ad un moto browniano subisce, in un tempo infinitesimo $δ t$ , uno spostamento $\delta \vec{r}$ distribuito come una gaussiana con media nulla e varianza $2 D t$ . Un metodo per studiare questo moto è quello di studiare come evolve la densità di probabilità $\rho (\vec{r},t)$ di trovare la particella nella posizione $\vec{r}$ ad un tempo $t + δ t$ .

Questa può essere riscritta come la probabilità che la particella si trovasse in $\vec{r} '$ ad un tempo t, moltiplicata per la probabilità condizionata che, nell'intervallo di tempo $δ t$ , la particella si sia spostata da $\vec{r} '$ a $\vec{r}$ integrata su tutti gli $\vec{r} '$ :

$\rho (\vec{r}, t+\delta t)= \int \rho (\vec{r} ',t) \cdot P(\delta \vec{r}, \delta t|\vec{r} ', t) \cdot \operatorname d \vec{r} '$

dove la probabilità condizionata, per quanto visto sopra, può essere scritta come:

$P(\delta \vec{r}, \delta t|\vec{r} ', t)= \frac{1}{(4\pi D \delta t)^{\frac{3}{2}}} e^{-\frac{|\delta \vec{r}|^2}{4D\delta t}}$

$\Rightarrow \rho (\vec{r}, t+\delta t)= \int \rho (\vec{r} ',t) \cdot \frac{1}{(4\pi D \delta t)^{\frac{3}{2}}} e^{-\frac{|\delta \vec{r}|^2}{4D\delta t}}\cdot \operatorname d \vec{r} '$

Per $δ t$ piccoli anche $\delta \vec{r}$ sarà piccolo e quindi possiamo effettuare uno sviluppo in serie di Taylor per ottenere

$\rho (\vec{r}, t+ \delta t)= \rho (\vec{r}, t) + D \delta t \nabla^2 \rho (\vec{r}, t)$

$\Rightarrow \frac{\partial}{\partial t} \rho (\vec{r}, t)= D \nabla^2 \rho (\vec{r}, t)$

che è la ben nota equazione di diffusione.

[modifica] L'equazione di Fokker-Planck

Se introduciamo una forza esterna (generata da un potenziale U) a cui la particella è soggetta

$\vec{F}=-\nabla U$

possiamo pensare che in assenza della forza aleatoria la particella raggiungerebbe una certa velocità limite

$v_{lim}= \frac{\vec{F}}{\lambda}$

per effetto dell'attrito viscoso. Possiamo quindi scrivere che:

$\left\langle\delta \vec{r}\right\rangle= v_{lim} \delta t \cong \frac{\vec{F}}{\lambda}\delta t$

$\left\langle\delta r_i \delta r_j\right\rangle\cong 2D\delta_{ij}\delta t$ .

Inserendo questi termini nello sviluppo di $\rho (\vec{r}, t+\delta t)$ si ottiene

$\frac{\partial \rho}{\partial t}= -\nabla\cdot \left( \frac{\vec{F}}{\lambda} \rho - D \nabla \rho \right)$ che è la generalizzazione dell'equazione di diffusione al caso di forze esterne non nulle ed è nota come equazione di Fokker-Planck.

[modifica] Brevi accenni al metodo di Bachelier: applicazioni al mercato finanziario

Bachelier, che è universalmente considerato il padre della matematica finanziaria, come Einstein, propose un approccio statistico al processo. In particolare, il processo stocastico utilizzato è un processo di Wiener (o di Bachelier-Wiener, come proposto da William Feller), che rientra nella categoria più ampia dei processi di Markov. I processi stocastici di Markov sono quei processi in cui il valore presente della variabile racchiude in se tutta la storia della variabile stessa.

È parso ragionevole applicare l'ipotesi di efficienza debole dei mercati (e cioè che il prezzo di un'attività racchiuda in se tutta la storia passata) per modellizzare attraverso un processo di Wiener il percorso del prezzo delle azioni in un mercato finanziario. Successivamente al lavoro di Bachelier del 1900, tuttavia, questo approccio è stato per lungo tempo abbandonato, per essere ripreso soltanto a partire dagli anni '60, ed è definitivamente entrato a far parte degli strumenti della teoria della finanza con il noto lavoro di Black e Scholes del 1973. Il modello di moto browniano dei prezzi dei titoli finanziari è un elemento essenziale del pricing dei prodotti finanziari derivati, e in generale di altre attività finanziarie.

La matematica del moto browniano utilizzata nell'ambito della finanza differisce da quella comunemente utilizzata in ambito fisico, basata sul calcolo stocastico di Stratonovic; in finanza si utilizzano per lo più il calcolo stocastico basato sul lemma di Itô e il calcolo di Malliavin. Applicazioni numeriche nel pricing dei prodotti finanziarie spesso ricorrono a metodi di simulazione Monte Carlo.

[modifica] Bibliografia

Appunti di meccanica statistica, Luca Peliti, Bollati Boringhieri (2003).
Black, F. e Scholes, M. (1973), the Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 81(30), 637-654.

[modifica] Collegamenti esterni

(EN) Edward Nelson, Dynamical Theories of Brownian Motion (1967) (per scaricare l'articolo in formato .pdf)
(EN) Robert Brown, Microscopical Observations of Active Molecules (1827): articolo originale sulle osservazioni di Brown (formato .pdf)

[modifica] Voci correlate

Fisica
Acustica \| Astrofisica \| Elettromagnetismo \| Fisica atomica \| Fisica della materia condensata \| Fisica molecolare \| Fisica nucleare e subnucleare \| Fisica delle particelle \| Fisica del plasma \| Fisica teorica \| Meccanica classica \| Meccanica del continuo \| Meccanica quantistica \| Meccanica statistica \| Ottica \| Teoria della relatività \| Teoria delle stringhe \| Teoria quantistica dei campi \| Termodinamica Risorse utili Calendario eventi - Costanti fisiche - Fisici celebri - Glossario fisico - Lista delle particelle - Immagini - Sistemi di misurazione - Storia della fisica - Premi Nobel per la fisica (ordine alfabetico e cronologico) - Unità di misura Categorie: Tutte le voci di fisica - Fisici - Strumenti di misura - Unità di misura - Voci da aiutare Coordinamento: Progetto fisica - Millibar - Portale della fisica

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