Matrice di cambiamento di base

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la matrice di cambiamento di base è una matrice quadrata che codifica il cambiamento di una base di uno spazio vettoriale.

Indice

1 Definizione
2 Proprietà
3 Esempi
4 Voci correlate

[modifica] Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo $K$ . Siano $B$ e $B'$ due basi per $V$ . La matrice di cambiamento di base da $B$ in $B'$ è la matrice associata alla funzione identità da $V$ in sé, rispetto alle basi $B$ (in partenza) e $B'$ (in arrivo).

In altre parole, la matrice di cambiamento di base ha nella $i$ -esima colonna le coordinate dell' $i$ -esimo vettore di $B$ rispetto a $B'$ .

[modifica] Proprietà

[modifica] Cambio di coordinate

La matrice di cambiamento di base è utile soprattutto a tradurre le coordinate di un vettore fra due basi diverse. Sia $v$ un vettore di $V$ , e siano

$[v]_B, [v]_{B'} \in K^n$

le sue coordinate rispetto alle basi $B$ e $B'$ , dove $n$ è la dimensione di $V$ . Vale allora la relazione

[v] B' = M [v] B

dove $M$ è la matrice di cambiamento di base da $B$ in $B'$ e si fa uso del prodotto fra matrici.

[modifica] Composizione

La matrice di cambiamento di base serve a codificare la relazione fra basi diverse. Le proprietà seguenti mostrano che questa codifica è compatibile con le operazioni di composizione.

Se $B 1, B 2$ e $B 3$ sono tre basi per $V$ , e $M i, j$ è la matrice di cambiamento di base da $B i$ a $B j$ , abbiamo:

M 1,3 = M 1,2 M 2,3

Segue che se $M$ è la matrice di cambiamento di base da $B$ in $B'$ e $M'$ è la matrice di cambiamento di base da $B'$ in $B$ , vale la seguente relazione

M M' = I .

In particolare, la matrice $M$ è invertibile e M' è la sua inversa.

[modifica] Cambio di matrici associate a endomorfismi

Sia

$T:V\to V$

un endomorfismo di uno spazio vettoriale $V$ . Siano $B$ e $B'$ due basi per $V$ , e $M$ la matrice di cambiamento di base da $B$ in $B'$ . Siano

[T] B,[T] B'

le matrici associate a $T$ ottenute usando rispettivamente la base $B$ e $B'$ (in entrambi i casi si usa la stessa base in partenza ed in arrivo). Vale la relazione

[T] B = M - 1 [T] B' M

L'ultima proprietà implica che due matrici che rappresentano la stesso endomorfismo con basi diverse sono simili.

[modifica] Orientazione

Se $K=\R$ è il campo dei numeri reali, la matrice di cambiamento di base è utile a verificare se due basi hanno la stessa orientazione: questo accade precisamente quando il determinante della matrice di cambiamento di base che le collega è positivo.

[modifica] Esempi

Nel piano cartesiano, sia $B = ((1,0),(0,1))$ la base canonica e $B' = ((0,1),(1,0))$ ottenuta permutando $B$ . La matrice di cambiamento di base da $B$ in $B'$ è

$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$
Nello spazio euclideo $\mathbb{R}^3$ , la matrice di cambiamento fra le basi

$B = \left( v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right)$

$B' = \left( w_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , w_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , w_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right)$

viene trovata risolvendo il sistema lineare

$v i = M 1 i w 1 + M 2 i w 2 + M 3 i w 3$

con 9 equazioni (tre per ogni $i = 1,2,3$ ) e 9 incognite $M j i$ . Il risultato è la matrice

$M= \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & 1 & 1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 2 & 1 \end{pmatrix}.$

La matrice $M$ può quindi essere usata per cambiare le coordinate di un vettore fissato. Ad esempio, il vettore

$v = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} = 2v_1 - v_2 + 3v_3$

ha coordinate rispetto a $B$

$[v]_B = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}.$

Le sue coordinate rispetto a $B'$ sono quindi calcolate nel modo seguente:

$[v]_{B'} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & 1 & 1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}.$