Matrice quadrata
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In algebra una matrice quadrata è una matrice con un numero uguale di righe e colonne. Viene altrimenti detta "matrice 
".
Si tratta del tipo più comune e più importante di matrice, l'unico su cui sono definiti concetti come determinante, traccia, autovalore.
Le matrici quadrate sono utili a modellizzare le trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale (più precisamente, i suoi endomorfismi), le forme bilineari ed i prodotti scalari.
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[modifica] Algebra di matrici
[modifica] Anello
L'insieme di tutte le matrici quadrate a valori in un campo K fissato (ad esempio, i numeri reali o complessi) costituisce, rispetto alle operazioni di somma e di prodotto fra matrici, un anello. Eccetto il caso n = 1, tale anello non è commutativo. Viene indicato generalmente con M(n,K).
L'elemento neutro per la somma è la matrice nulla, avente zeri ovunque. L'elemento neutro per la moltiplicazione è la matrice identità In, contenente elementi pari a 1 nella diagonale principale e elementi nulli altrove. Per esempio, se n = 3:
[modifica] Spazio vettoriale
Considerato anche con l'operazione di moltiplicazione per scalare, l'insieme M(n,K) è anche uno spazio vettoriale su K, di dimensione n2.
Le due strutture di anello e spazio vettoriale formano insieme una struttura di algebra su campo.
[modifica] Elementi invertibili
Gli elementi invertibili nell'anello si dicono matrici invertibili. Una matrice quadrata A è invertibile se e solo se esiste una matrice quadrata B tale che:
- AB = In = BA
In tal caso, B è la matrice inversa di A, ed è indicata con A − 1.
L'insieme di tutte le matrici invertibili di tipo , dotato dell'operazione di moltiplicazione, è un gruppo, chiamato gruppo generale lineare: si tratta di un particolare gruppo di Lie.
[modifica] Autovettori e autovalori
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Per approfondire, vedi le voci autovettore e autovalore e diagonalizzabilità . |
Se λ è un numero in K e v è un vettore non nullo in Kn tali che
- Av = λv
si dice che v è un autovettore di A e λ è l'autovalore ad esso associato. Lo studio degli autovalori e autovettori è di fondamentale importanza in algebra lineare, e porta al concetto di diagonalizzabilità . Gli autovalori di una matrice sono le radici del suo polinomio caratteristico, definito come
- p(λ) = det(A − λI)
[modifica] Determinante e traccia
Il determinante di una matrice quadrata è una quantità importante che può essere definita in numerosi modi diversi. I determinanti caratterizzano l'invertibilità di una matrice quadrata: una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo.
La traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi della sua diagonale principale.
Il polinomio caratteristico, oltre ad essere uno strumento utile per il calcolo degli autovalori, è anche un oggetto che ha fra i suoi coefficienti il determinante, la traccia ed altri valori numerici simili.
Quando una matrice è diagonalizzabile, determinante e traccia sono rispettivamente il prodotto e la somma degli autovalori della matrice.
La funzione esponenziale di matrice è definita per matrici quadrate attraverso una serie di potenze.
