Algebra lineare

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L'algebra lineare è la branca della matematica che si occupa dello studio dei vettori, spazi vettoriali (o spazi lineari), trasformazioni lineari, e sistemi di equazioni lineari. Gli spazi vettoriali sono un tema centrale nella matematica moderna; così, l'algebra lineare è usata ampiamente nell'algebra astratta, nella geometria e nell'analisi funzionale. L'algebra lineare ha inoltre una rappresentazione concreta nella geometria analitica.

Con l'algebra lineare si studiano completamente tutti i fenomeni fisici "lineari", cioè quelli in cui intuitivamente non entrano in gioco distorsioni, turbolenze e fenomeni caotici in generale. Anche fenomeni più complessi, non solo della fisica ma anche delle scienze naturali e sociali, possono essere studiati "approssimando il sistema" con un modello lineare.

[modifica] Storia

La storia dell'algebra lineare moderna inizia negli anni 1843 e 1844. Nel 1843, William Rowan Hamilton (che ha introdotto il termine vettore) inventò i quaternioni. Nel 1844, Hermann Grassmann pubblicò il suo libro Die lineale Ausdehnungslehre (vedi i Riferimenti). Arthur Cayley introdusse le matrici (2×2), una delle idee fondamentali dell'algebra lineare, nel 1857.

[modifica] Introduzione elementare

L'algebra lineare ha le sue origini nello studio dei vettori negli spazi cartesiani a due e tre dimensioni. Un vettore, in questo caso, è un segmento orientato, caratterizzato da lunghezza (o magnitudine) e direzione. I vettori possono essere usati per rappresentare determinate entità fisiche come le forze, e possono essere sommati fra loro e moltiplicati per uno scalare, formando quindi il primo esempio di spazio vettoriale sui reali.

L'algebra lineare moderna è stata estesa per comprendere spazi di dimensione arbitraria o infinita. Uno spazio vettoriale di dimensione n è chiamato n-spazio. Molti dei risultati utili nel 2-spazio e nel 3-spazio possono essere estesi agli spazio di dimensione maggiore. Anche se molte persone non sanno visualizzare facilmente i vettori negli n-spazi, questi vettori o n-uple sono utili per per rappresentare dati. Poiché i vettori, come n-uple, sono liste ordinate di n componenti, molte persone comprendono e manipolano i dati efficientemente in questa struttura. Ad esempio, in economia, si può creare e usare vettori 8-dimensionali (ottuple) per rappresentare il Prodotto Interno Lordo di 8 stati. Si può decidere di visualizzare il PIL di 8 stati per un particolare anno, ad esempio (Stati Uniti, Gran Bretagna, Francia, Germania, Spagna, India, Giappone, Australia), usando un vettore (v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, v₆, v₇, v₈) dove il PIL di ogni stato è nella sua rispettiva posizione.

Uno spazio vettoriale è definito sopra un campo, come il campo dei numeri reali o il campo dei numeri complessi. Gli operatori lineari mappano elementi da uno spazio vettoriale su un altro (o su sé stesso), in modo che sia mantenuta la compatibilità con l'addizione e la moltiplicazione scalare definiti negli spazi vettoriali. L'insieme di tutte queste trasformazioni è anch'egli uno spazio vettoriale. Se è fissata una base per uno spazio vettoriale, ogni trasformazione lineare può essere rappresentata da una tabella chiamata matrice. Nell'algebra lineare si studiano quindi le proprietà delle matrici, e gli algoritmi per calcolare delle quantità importanti che le caratterizzano, quali il rango, il determinante e l'insieme dei suoi autovalori.

Uno spazio vettoriale (o spazio lineare), come concetto puramente astratto sul quale proviamo teoremi, è parte dell'algebra astratta, e ben integrato in questo campo: alcuni oggetti algebrici correlati ad esempio sono l'anello delle mappe lineari da uno spazio vettoriale in sé, o il gruppo delle mappe lineari (o matrici) invertibili. L'algebra lineare gioca anche un ruolo importante in analisi, specialmente nella descrizione delle derivate di ordine superiore nell'analisi vettoriale e nella risoluzione delle equazioni differenziali.

Concludendo, si può dire semplicemente che i problemi lineari della matematica - quelli che esibiscono "linearità" nel loro comportamento - sono quelli più facili da risolvere, e che i problemi "non lineari" vengono spesso studiati approssimandoli con situazioni lineari. Ad esempio nell'analisi, la derivata è un primo tentativo di approssimazione lineare di una funzione. La differenza rispetto ai problemi non lineari è molto importante in pratica: il metodo generale di trovare una formulazione lineare di un problema, in termini di algebra lineare, e risolverlo, se necessario con calcoli matriciali, è uno dei metodi più generali applicabili in matematica.

[modifica] Generalizzazione e argomenti correlati

I metodi dell'algebra lineare sono stati estesi ad altre branche della matematica, grazie al loro successo. Nella teoria dei moduli si sostituisce il campo degli scalari con un anello. L'algebra multilineare si occupa dei problemi che mappano linearmente 'molte variabili' in un numero differente di variabili, portando inevitabilmente al concetto di tensore. Nella teoria spettrale degli operatori si riescono a gestire matrici di dimensione infinita applicando l'analisi matematica in una teoria non puramente algebrica. In tutti questi casi le difficoltà tecniche sono maggiori.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Collegamenti esterni

(EN) Linear Algebra Toolkit.
(EN) Linear Algebra Workbench: moltiplica e inverte matrici, risolve sistemi, trova autovalori, ecc.
(EN) Linear Algebra su MathWorld.

[modifica] Riferimenti

Beezer, Rob, A First Course in Linear Algebra, licenza GFDL.
Fearnley-Sander, Desmond, Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra, American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
Grassmann, Hermann, Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, O. Wigand, Leipzig, 1844.