Operazioni di proiezioni e sezioni
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In geometria descrittiva, le operazioni di proiezioni e sezioni consistono, rispettivamente: quella di proiezione, nel condurre per due punti P ed S una retta r, detta proiettante, e quella di sezione, nel detrminare P', detto immagine del punto P, come punto d'incidenza tra r con un stabilito piano π, detto piano di proiezione. Pertanto tali punti P ed S vengono detti rispettivamente punto oggettivo e centro di proiezione. Il quale può essere un punto proprio e in tal caso si ha il metodo della proiezione centrale, altrimenti si hanno i metodi delle proiezioni parallele
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[modifica] Prospettività
Applicando le sopradette operazioni ad un triangolo ABC, si ha come immagine un altro triangolo A'B'C'. In questo modo, tra i punti e le rette appartenenti, rispettivamente a tali triangoli, nasce una corrispondenza biunivoca detta Prospettività che consiste nel avere:
- i punti corrispondenti A A',B B' ed C C' allineati con un stesso punto U, detto centro della propsettività;
- le rette corrispondenti AB A'B', BC B'C' ed CA C'A' che si incontrano su una retta u, detta asse dell'omologia.
[modifica] Tipi di prospettività
Secondo l'entita degli elementi principali: asse u e centro U, la prospettivià può essere classficata come segue:
- Prospettiva, quando le due figure corrisondenti ABC A'B'C' sono ottenute come sezione di una proiezione centrale eseguita con due piani incidenti tra loro. Ne consegue che l'asse u risulta come retta propria ed il centro U come punto proprio. Per esempio sezionando una piramide a base trangolare ABC con un piano incidente quello della base, si ha un altro triangolo A'B'C' prospettivo con quello della base ABC.
- Affinità prospettiva, quando le due figure corrisondenti ABC A'B'C' sono ottenute come sezione piane di una proiezione parallela. In questo modo l'asse u risulta come retta impropria ed il centro U come punto improprio. Per esempio sezionando un prisma a base trangolare ABC con un piano parallelo a quello della base si ottiene un altro triangolo A'B'C' affine in modo prospettivo con quello della base ABC.
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- Affinità prospettiva piana, quando le due figure corrispondenti sono congruenti, simili e giaciono su due piani coincidenti. In questo modo l'asse u risulta come retta impropria ed il centro U come punto improprio. Per esempio traslando un triangolo ABC in modo che rimanga su un stesso piano, si ha un altro triangolo A'B'C' affine in modo prospettivo al triangolo ABC.
- Omotetia prospettiva, quando le due figure corrisondenti ABC A'B'C' sono ottenute come sezione di una proiezione centrale eseguita con due piani paralleli tra loro. Ne consegue che l'asse u risulta come retta impropria ed il centro U come punto improprio. Per esempio sezionando un prisma a base trangolare ABC con un piano parallelo a quello della base, si ha un altro triangolo A'B'C' omotetico in modo prospettivo con quello della base ABC.
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- Omotetia prospettiva piana, quando le due figure corrispondenti sono simili e giaciono su due piani coincidenti. In questo modo l'asse u risulta come retta impropria ed il centro U come punto proprio. Per esempio sezionando una proiezione centrale di un triangolo ABC e stabilendo che il centro U appartenga allo stesso piano del triangolo, si ha un altro triangolo A'B'C' omotetico in modo prospettivo al triangolo ABC.
