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Serie di Mercator - Wikipedia

Serie di Mercator

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica per serie di Mercator o serie di Newton-Mercator si intende la serie di Taylor della funzione logaritmo naturale. Essa è data da

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots$ ,

espressione valida per $-1 < x \le 1$ .

Indice

1 Cenno storico
2 Derivazione
3 Caso particolare
4 Riferimenti

[modifica] Cenno storico

Questa serie è stata scoperta indipendentemente da Isaac Newton, Nicolaus Mercator e Grégoire de Saint-Vincent. Essa è stata pubblicata per la prima volta nel 1668 nel trattato Logarithmo-technica di Mercator.

[modifica] Derivazione

La serie può essere ricavata differenziando ripetutamente la funzione logaritmo naturale iniziando con

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$ .

In alternativa, si può partire con la uguaglianza (che porta alla serie geometrica)

$1 - t + t^2 - \ldots + (-t)^{n-1} = \frac{1 - (-t)^n}{1+t} \quad t \neq -1$

la quale fornisce per $-1 < x \le 1$ e per $n \to \infty$ :

$\frac{1}{1+t} = 1 - t + t^2 - t^3 + \cdots$

Applichiamo ai due membri l'integrale da 0 a x

$\int_0^x \frac{dt}{1+t} = \int_0^x 1 - t + t^2 - t^3 + \cdots \, dt$

Svolgiamo questi integrali:

$\int_0^x \frac{dt}{1+t} =\int_0^x \frac{(1+t)^{\prime}}{1+t} \, dt = \int (ln \left(t+1\right ))^{\prime} \, dt = ln \left(x+1\right )$

$\int_0^x 1 - t + t^2 - t^3 + \cdots \, dt = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$

Quindi

$x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \ln(1+x)$ .

[modifica] Caso particolare

Ponendo $x = 1$ , la serie di Mercator si riduce alla cosiddetta serie armonica a segni alterni

$\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2$ .

Questa si può considerare anche caso particolare relativo a z = 1 della funzione eta di Dirichlet η(z).

[modifica] Riferimenti

(EN) Mercator Series in MathWorld
(SV) Eriksson, Larsson, Wahde (2002): Matematisk analys med tillämpningar, part 3, Goteborg, p. 10.

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../s/e/r/Serie_di_Mercator_7b42.html"

Categoria: Serie matematiche

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