Teorema del grafico chiuso

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In matematica, il teorema del grafico chiuso è un risultato basilare in analisi funzionale che caratterizza gli operatori lineari continui tra spazi di Banach in termini del grafico dell'operatore.

Indice

1 Enunciato
2 Dimostrazione
3 Commenti
4 Generalizzazione

[modifica] Enunciato

Per ogni funzione T : X → Y, definiamo il grafico di T come l'insieme { (x,y) ∈ X×Y | y = T(x) }.

Supponiamo che X e Y siano spazi di Banach, e che $T:X\to Y$ sia un operatore lineare definito ovunque (cioè il dominio D(T) di T è X). Allora T è continuo se e solo se il suo grafico è chiuso in X×Y (con la topologia prodotto).

La restrizione sul dominio è necessaria a causa dell'esistenza di operatori lineari chiusi illimitati .

La dimostrazione del teorema del grafico chiuso fa uso del teorema della funzione aperta.

[modifica] Dimostrazione

Ricordiamo innanzitutto che la topologia prodotto sullo spazio vettoriale $X\times Y$ è definita dalla norma $\left\|(x,y)\right\|_{X\times Y} \doteq \|x\|_X + \|y\|_Y$ . Conseguentemente il grafico di $T$ , che è un sottospazio di $X\times Y$ , può essere dotato della norma indotta che viene detta anche norma del grafico: $\left\|(x,Tx)\right\| = \|x\|_X + \|Tx\|_Y, \ x\in X$ .

Supponiamo dapprima $T$ continuo. Ovviamente il grafico $Γ(T)$ è chiuso ed una implicazione è banalmente provata.

Supponiamo ora $Γ(T)$ chiuso. È evidente che $Γ(T)$ , dotato della norma del grafico, è uno spazio di Banach. Definiamo i seguenti operatori:

$\Pi_1: \Gamma(T)\to X, \ \Pi_1(x,Tx)\doteq x$ e $\Pi_2: \Gamma(T)\to Y, \ \Pi_2(x,Tx)\doteq Tx$ .

Ovviamente $Π 1$ e $Π 2$ sono lineari e continui e $Π 1$ è una biiezione. Quindi, per il teorema dell'inversa (corollario del teorema della funzione aperta) l'operatore inverso $\Pi_1^{-1}:X\to \Gamma(X)$ è lineare e continuo. Ne segue che $T=\Pi_2\circ \Pi_1^{-1}:X\to Y$ è continuo.

[modifica] Commenti

Il teorema del grafico chiuso può essere riformulato nel modo seguente. Se T : X → Y è un operatore lineare tra spazi di Banach, allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

Se la successione {x_n} in X converge a qualche elemento x, allora la successione {T(x_n)} in Y converge anch'essa, e il suo limite è T(x).
Se la successione {x_n} in X converge a qualche elemento x e la successione {T(x_n)} in Y converge a qualche elemento y, allora y = T(x).

[modifica] Generalizzazione

Il teorema del grafico chiuso può essere generalizzato a più astratti spazi vettoriali topologici nel modo seguente:

Un operatore lineare da uno spazio botte X a uno spazio di Fréchet Y è continuo se e solo so il suo grafico è chiuso nello spazio X×Y dotato della topologia prodotto.

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Categoria: Analisi funzionale