Spazio di Banach
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In matematica gli spazi di Banach sono degli spazi studiati inizialmente da Stefan Banach e da cui hanno preso il nome. Sono un oggetto di studio importante dell'analisi funzionale: molti spazi di funzioni sono spazi di Banach.
[modifica] Definizione
Uno spazio di Banach è uno spazio normato completo rispetto alla metrica indotta dalla norma.
In altre parole, è uno spazio vettoriale (sul campo dei numeri reali o complessi, la cui dimensione può essere infinita), su cui è definita una norma, tale che ogni successione di Cauchy è convergente (ha cioè un limite).
[modifica] Esempi
- La retta reale
con la distanza d(x,y) = | x − y | - Lo spazio vettoriale
oppure 
con una delle distanze:
- Un esempio di spazio infinito dimensionale è lo spazio lp delle successioni di numeri reali o complessi convergenti con la distanza:
.
- Spazio infinito dimensionale delle successioni limitate
con la distanza:
.
- Spazio infinito dimensionale delle funzioni continue C[a,b] su un intervallo [a,b] con la distanza:
.
- Spazio infinito dimensionale delle funzioni continue tale che:
.
