Teorema della funzione aperta

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In matematica, ci sono due teoremi chiamati "teorema della funzione aperta".

Indice

1 1. Analisi funzionale
2 Enunciato
3 Dimostrazione
4 Corollari
5 2. Analisi complessa

[modifica] 1. Analisi funzionale

In analisi funzionale, il teorema della funzione aperta o teorema dell'applicazione aperta, altrimenti noto come teorema di Banach-Schauder, è un risultato fondamentale che afferma quanto segue

[modifica] Enunciato

Sia T : X → Y un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach X e Y, allora T è una funzione aperta (cioè se U è un insieme aperto in X, allora T(U) è aperto in Y).

La dimostrazione fa uso del teorema della categoria di Baire.

[modifica] Dimostrazione

Passo 1. Occorre provare che per ogni $x\in X$ e per ogni $N\subseteq X$ , intorno di $x$ , $T (N)$ è un intorno di $T x$ . Per linearità risulta $T (x + A) = T x + T (A)$ ( $x\in X$ , $A\subseteq X$ ), per cui è sufficiente provare l'affermazione per $x = 0$ . Poiché un intorno dello zero contiene necessariamente una palla $B r = B (0, r)$ , è sufficiente provare che per ogni $r > 0$ esiste un $r^\prime>0$ tale che $B^Y_{r^\prime}\subseteq T(B^X_r)$ . Osserviamo inoltre che $B r = r B 1$ ed anche, per linearità, che $T(B^X_r)=rT(B^X_1)$ per ogni $r > 0$ .

Per la suriettività di $T$ si ha

$Y=\cup_{n=1}^{\infty} T(B_n) = \cup_{n=1}^{\infty} \overline{T(B_n)}$ .

Per il teorema della categoria di Baire esiste $\overline n$ tale che : $\overline{T(B_{\overline n})}$ ha interno non vuoto

e pertanto, essendo

$\overline{T(B_{\overline n})}=\overline n \overline{T(B_1)}$ ,

deduciamo che $\overline{T(B_1)}$ ha interno non vuoto.

Passo 2. Sia $W$ un aperto di $Y$ tale che

$W\subseteq \overline{T(B_1)}$ .

Ovviamente $\overline{T(B_1)}$ contiene lo zero, ma occorre provare che esiste $ε > 0$ tale che

$B^Y_\epsilon \subseteq W$ .

Siano $x_0\in B_1$ e $y_0=Tx_0\in W$ . Poiché l'applicazione $x\mapsto x-x_0$ è un omeomorfismo, esiste un intorno $V$ di zero in $Y$ tale che

$V\subseteq -y_0+\overline{T(B_1)}$ .

Si ha:

$-y_0+T(B_1)=\left\{-y_0+ Tw, w\in B_1\right\}= \left\{T(w-x_0), w\in B_1\right\}\subseteq T(B_2),$

poiché $x_0,w\in B_1$ implica che $w-x_0\in B_2$ . Pertanto abbiamo provato che

$V\subseteq -y_0 + \overline{T(B_1)}\subseteq \overline{T(B_2)}$

e quindi

$\tilde V\doteq \frac{1}{2} V\subseteq \overline{T(B_1)}$

e $\tilde V$ è un intorno di zero in $Y$ . Pertanto esiste $ε > 0$ tale che

$B^Y_\epsilon \subseteq \overline{T(B_1)}$ .

Passo 3. Proviamo che $\overline{T(B_1)}\subseteq T(B_2)$ , cosa che conclude la dimostrazione poiché ne segue che $B^Y_{\frac{\epsilon }{2}}$ risulta contenuto in $T (B 1)$ .

Sia $y\in \overline{T(B_1)}$ . Si scelga $x_1\in B^X_1$ tale che $\|y-Tx_1\|<\frac{\epsilon}{2}$ , cioè $y-Tx_1 \in B^Y_{\frac{\epsilon}{2}}$ . Per il punto 2. risulta

$B^Y_{\frac{\epsilon}{2}}\subseteq \overline{T(B_{\frac{1}{2}}}$ ,

quindi possiamo scegliere $x_2\in B^X_{\frac{1}{2}}$ tale che

$\|y-Tx_1-Tx_2\|< \frac{\epsilon}{4}$ , cioè $y-Tx_1-Tx_2\in B^Y_{\frac{\epsilon}{4}}$ .

Iterando il procedimento risulta definita una successione $(x n)$ in $X$ tale che

$x_n\in B^X_{2^{1-n}}$ e $y-\sum_{j=1}^n Tx_j \in B^Y_{\epsilon 2^{1-n}}$ .

Risulta

$\left\|\sum_{j=n}^{n+p}\right\|< 2^{1-n}\ \ \forall n,p\in \textbf{N}$ ,

quindi esiste

$x = \sum_{j=1}^\infty x_j$

e si ha

$\|x\|\le \sum_{j=1}^\infty \|x_j\| < \sum_{j=1}^\infty 2^{1-j} = 2$ .

Quindi $x\in B_2$ e, per la continuità di $T$ , risulta $T x = y$ . Da ciò segue che

$\overline{T(B_1)}\ni y = Tx\in T(B_2)$

ed il teorema è provato.

[modifica] Corollari

Il teorema della funzione aperta ha due importanti conseguenze:

Se T : X → Y è un operatore lineare continuo e bigettivo tra gli spazi di Banach X e Y, allora l'operatore inverso T^-1 : Y → X è anch'esso continuo (questo viene detto teorema della funzione inversa).
Se T : X → Y è un'operatore lineare tra gli spazi di Banach X e Y, e se per ogni successione (x_n) in X con x_n → 0 and Tx_n → y segue che y = 0, allora T è continuo (Teorema del grafico chiuso).

[modifica] 2. Analisi complessa

In analisi complessa, il teorema della funzione aperta afferma che se U è un sottoinsieme connesso del piano complesso C e f : U → C è una funzione olomorfa non costante, allora f è una funzione aperta (cioè manda sottoinsiemi aperti di U in sottoinsiemi aperti di C).