Teorema della categoria di Baire

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Il Teorema della categoria di Baire è un importante strumento della topologia generale e dell' analisi funzionale. Il teorema è disponibile in due versioni, ciascuna delle quali fornisce una condizione sufficiente affinché uno spazio topologico sia uno spazio di Baire.

[modifica] Enunciato del teorema

(TCB1) Ogni spazio metrico completo non vuoto è uno spazio di Baire. Più in generale, ogni spazio topologico omeomorfo ad un sottoinsieme aperto di uno spazio pseudometrico completo è uno spazio di Baire. In particolare, ogni spazio topologicamente completo è uno spazio di Baire.
(TCB2) Ogni spazio di Hausdorff localmente compatto non vuoto è uno spazio di Baire.

Nessuna delle due proposizioni implica l'altra poiché non necessariamente uno spazio metrico completo è localmente compatto (un esempio è dato dallo spazio di Baire dei numeri irrazionali) così come uno spazio di Hausdorff localmente compatto non è necessariamente metrizzabile (un esempio è dato dallo spazio di Fort non numerabile). Per ulteriori dettagli, si veda Steen e Seebach in bibliografia.

Si dice che un sottoinsieme di uno spazio metrico è denso in nessun luogo se la sua chiusura ha interno vuoto. Il teorema di Baire può essere formulato nel seguente modo:

(TCB3) Uno spazio metrico completo non può essere unione numerabile di insiemi densi in nessun luogo.

La seguente versione è largamente utilizzata come teorema di esistenza.

(TCB4) In uno spazio metrico completo l'intersezione numerabile di aperti densi è aperta e densa.

[modifica] Dimostrazione

Diamo la dimostrazione del teorema nella forma TCB3. Sia $(X, d)$ uno spazio metrico completo e supponiamo, per assurdo, $X=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$ , dove $\overline{A_n}$ ha interno vuoto per ogni $n\in \textbf{N}$ .

Scegliamo $x_1\in X$ ed $r\in \left]0,1\right[$ tali che $B(x_1,r_1)\cap A_1 =\emptyset$ ; ciò è possibile perché la chiusura di $A 1$ ha interno vuoto. Con $B (x, r)$ indichiamo la palla aperta in $X$ di centro $x$ e raggio $r$ . Ora scegliamo $x_2\in B(x_1,r_1)$ e $r_2\in \left]0,\frac{1}{2}\right[$ tale che $\overline{B(x_2,r_2)}\subseteq B(x_1,r_1)$ e $B(x_2,r_2)\cap A_2=\emptyset$ , il chè è possibile perché la chiusura di $A 2$ ha interno vuoto. Iterando il procedimento costruiamo una successione $(x n)$ in $X$ ed una successione $(r n)$ in $\textbf{R}$ tali che $0< r_n < \frac{1}{2^{n-1}}$ , $\overline{B(x_n,r_n)}\subseteq B(x_{n-1},r_{n-1})$ e $B(x_n,r_n)\cap A_n=\emptyset \quad \forall n\in \textbf{N}$ .

Ne segue che, per ogni $n,m\in \textbf{N}$ tali che $n,m\ge N$ risulta $d(x_n,x_m)\le \frac{1}{2^{N-1}}$ e pertanto la successione $(x n)$ è di Cauchy e quindi convergente ad un certo $x\in X$ . Ma d'altronde risulta $x\notin A_n$ per ogni $n\in\textbf{N}$ e pertanto si ha $x\notin \cup_{n=1}^{\infty} A_n = X$ , il chè è assurdo e quindi il teorema è provato.

[modifica] Relazione con l'Assioma della Scelta

Le dimostrazioni di entrambe le versioni richiedono l' Assioma della scelta; infatti la proposizione che ogni spazio pseudometrico completo è uno spazio di Baire è logicamente equivalente ad una più debole formulazione dell'Assioma della Scelta nota come Assioma della scelta dipendente. [1]

[modifica] Applicazioni del teorema

TCB1 è utilizzato nelle dimostrazioni del teorema della funzione aperta, del teorema del grafico chiuso e del principio dell'uniforme limitatezza.

TCB1 mostra inoltre che ogni spazio metrico completo privo di punti isolati è non numerabile (se X è uno spazio metrico completo numerabile privo di punti isolati, allora ogni singoletto {x} in X è denso in nessun luogo e pertanto X stesso è di prima categoria). In particolare, ciò prova che l'insieme di tutti i numeri reali è non numerabile.

TCB1 mostra che ciascuno dei seguenti insiemi è uno spazio di Baire:

L'insieme R dei numeri reali
L' insieme di Cantor
Ogni varietà (in quanto insiemi localmente compatti)
Ogni spazio topologico omeomorfo ad uno spazio di Baire (per esempio, l'insieme dei numeri irrazionali che non è completo rispetto alla metrica ereditata da R)

Ulteriori applicazioni di TCB1 e le sue relazioni con fenomeni simili sono riportate in Bwatabaire (il sito è quasi interamente in francese; alcune pagine sono in inglese).

[modifica] Bibliografia

Schechter, Eric, Handbook of Analysis and its Foundations, Academic Press, ISBN 0-126-22760-8
Lynn Arthur Steen e J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Springer-Verlag, New York, 1978. Ristampato da Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../t/e/o/Teorema_della_categoria_di_Baire_0142.html"

Categorie: Topologia | Teoremi