Insieme aperto
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Il concetto di insieme aperto si trova in matematica in molti ambiti e con diversi gradi di generalità. Intuitivamente, un insieme è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da un punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire concetti come "vicino", "lontano", "attaccato", "separato"; definizioni non intuitive di insiemi aperti corrisponderanno a situazioni matematiche in cui questi concetti vengono utilizzati in modo non intuitivo.
Riportiamo le due definizioni più utilizzate:
[modifica] Spazi topologici
La topologia è l'ambito più generale in cui si incontrano gli insiemi aperti; in questo contesto il concetto di insieme aperto viene considerato fondamentale; preso un insieme X, se una sua qualunque collezione T di sottoinsiemi di X soddisfa le proprietà riportate sotto, X diventa uno spazio topologico, T viene chiamata topologia di X e gli insiemi di T, per definizione, i suoi aperti.
Perché la collezione T sia una topologia deve valere:
- l'unione di una collezione arbitraria di insiemi di T è ancora un insieme di T
- l'intersezione di un numero finito di insiemi di T è ancora un insieme di T
- l'insieme X e l'insieme vuoto appartengono a T
Lo spazio topologico viene indicato specificando la coppia (X,T). È da notare che se si considera uno stesso insieme X con due diverse topologie T e T', si hanno due spazi topologici diversi; tuttavia in molti casi, in cui la struttura topologica emerge in modo "naturale", indicare l'insieme è sufficiente per individuare lo spazio topologico.
[modifica] Spazi metrici
In uno spazio metrico (M,d), un sottoinsieme U di M si dice aperto se, per ogni punto x di U, esiste un numero reale ε > 0 tale che i punti che distano da x per meno di ε appartengono ancora a U. Formalmente: se d(x,y) < ε, allora y appartiene a U. Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di M secondo la definizione precedente: in questo modo ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici (ma non viceversa).
A ogni definizione di insieme aperto corrisponde una definizione di insieme chiuso. In generale un insieme è chiuso se e solo se è il complementare di un insieme aperto; nell'ambito degli spazi topologici questa è esattamente la proprietà definitoria, negli altri ambiti si danno definizioni a parte e questa proprietà viene provata come un teorema.
