Terza velocità cosmica

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La terza velocità cosmica è la velocità che deve avere un corpo rispetto alla Terra affinché esso possa abbandonare il sistema solare. Si può dimostrare che il suo valore dipende dalla direzione lungo la quale il corpo si allontana dalla zona d'azione della gravità terrestre, ed è minimo se questa direzione coincide con quella del moto orbitale della Terra intorno al Sole e massimo se le direzioni sono opposte.

[modifica] Il calcolo

Per un calcolo esatto della terza velocità cosmica si dovrebbe tenere conto dell'interazione di Sole, Terra e corpo da lanciare (ad esempio una nave spaziale). Tuttavia è possibile semplificare il calcolo trascurando l'influenza del campo di gravitazione del Sole durante tutto il tempo che la nave impiega per uscire dalla zona di attrazione della Terra. Approssimativamente, infatti, il campo gravitazionale del Sole è omogeneo nella zona di attrazione della Terra, quindi comunica praticamente la stessa accelerazione alla Terra e alla nave spaziale. Indichiamo con $v$ la velocità iniziale della nave rispetto alla Terra, con $v c$ la prima velocità cosmica e con $v p$ la seconda velocità cosmica. L'energia totale della nave è la somma di energia cinetica ed energia potenziale gravitazionale, quindi

$E = \frac{1}{2}m v^{2} - G \frac{Mm}{r}$

dove M è la massa della Terra, m quella della nave e r la loro distanza relativa. Per prima cosa, la nave deve lasciare la zona di attrazione terrestre: ciò si verifica quando $r \rightarrow \infty$ cioè l'energia potenziale si annulla. Sia $v_{\infty}$ la velocità della nave rispetto alla Terra quando lascia la zona di attrazione di quest'ultima. Allora

$\frac{1}{2}m v^{2} - G \frac{Mm}{r} = \frac{1}{2}m v_{\infty}^{2}$ .

D'altra parte si sa che $v_{c}^{2} = GM/r$ , quindi

$v^{2} - 2v_{c}^{2} = v_{\infty}^{2}$ .

A questo punto passiamo nel sistema di riferimento del Sole. Chiamiamo $\vec{V}$ la velocità della nave rispetto al Sole quando lascia la zona di attrazione terrestre. È chiaro che

$\vec{V} = \vec{v}_{\infty} + \vec{v}_{Terra}$

dove compare la velocità della Terra rispetto al Sole. Questa velocità è circa uguale alla "prima velocità cosmica" (diciamo $\vec{V}_{c}$ ) per il Sole, poiché la Terra ha un'orbita approssimativamente circolare. Allora

$\vec{V} = \vec{v}_{\infty} + \vec{V}_{C}$

e per una nota proprietà della somma vettoriale

$V^{2} = v_{\infty}^{2} + V_{C}^{2} + 2 v_{\infty} V_{c} \cos{\theta}$

dove $θ$ è l'angolo formato dai vettori $\vec{v}_{\infty}$ e $\vec{V}_{c}$ , ovvero l'angolo tra la direzione del moto rispetto alla Terra e la direzione del moto della Terra rispetto al Sole. Se vogliamo che la nave lasci il sistema solare, bisogna che la sua velocità (rispetto al Sole) sia almeno uguale alla seconda velocità cosmica (velocità di fuga) per il Sole, che chiamiamo $\vec{V}_{p}$ . Si sa che, in generale, la prima e la seconda velocità cosmiche sono legate dalla relazione

$V_{p} = V_{c} \sqrt{2}$ .

In definitiva, si ottiene la seguente equazione nell'incognita $v_{\infty}$ :

$v_{\infty}^{2} + 2 V_{c} \cos{\theta} v_{\infty} - V_{c}^{2} = 0$

che ha una sola soluzione positiva uguale a

$v_{\infty} = V_{c}(- \cos{\theta} + \sqrt{1 + (\cos{\theta})^{2}} \, )$ .

Riprendendo la relazione $v^{2} - 2v_{c}^{2} = v_{\infty}^{2}$ , si trova per la terza velocità cosmica:

$v_{3}^{2} = V_{c}^{2}(- \cos{\theta} + \sqrt{1 + (\cos{\theta})^{2}} \, )^{2} + 2 v_{c}^{2}$ .

[modifica] Risultati

Il valore della terza velocità cosmica è minimo se $θ = 0$ (quando il lancio avviene nella direzione del moto orbitale della Terra) e massimo se $θ = π$ (quando il lancio è opposto al senso del moto orbitale della Terra). Per questi valori la formula precedente dà

$v_{3}^{min} \approx \sqrt{0.171 V_{c}^{2} + 2 v_{c}^{2}} \approx 16.7 km/s$
$v_{3}^{max} \approx \sqrt{5.828 V_{c}^{2} + 2 v_{c}^{2}} \approx 72.7 km/s$ .

[modifica] Voci correlate

Prima velocità cosmica

Seconda velocità cosmica

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