Variabile casuale esponenziale negativa

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**Variabile casuale esponenziale**
Funzione di densità
Funzione di ripartizione
Parametri	= $λ > 0$ , detto intensità
Supporto	$\mathbb{R}_+$
pdf	$\ \lambda e^{-\lambda x}$
cdf	$\ 1 - e^{-\lambda x}$
Valore atteso	$\lambda^{-1}\,$
Mediana	$\ln(2)/\lambda\,$
Moda	$0\,$
Varianza	$\lambda^{-2}\,$
Skewness	$2\,$
Curtosi	$6\,$
Entropia	$1 - \ln(\lambda)\,$
Funz. Gen. dei Momenti	$\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,$
Funz. Caratteristica	$\left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,$

La variabile casuale esponenziale negativa (o semplicemente esponenziale) è un caso particolare della variabile casuale Gamma in cui il parametro $p$ è posto uguale a 1. Il parametro $λ$ della variabile casuale esponenziale corrisponde al secondo parametro della variabile casuale Gamma.

È spesso usata per modellare il tempo tra eventi indipendenti che avvengono con una frequenza media costante.

[modifica] Teoremi

[modifica] Somma di due v.c. esponenziali negative

Se: $X$ e $Y$ sono due variabili casuali identiche e indipendenti distribuite come una Esponenziale Negativa con parametro $λ$
allora: $Z = X + Y$ è una variabile casuale Gamma con parametri $λ$ e $p = 2$ .

[modifica] Esponenziale negativa e v.c. poissoniana

La variabile casuale esponenziale negativa è posta in relazione alla variabile casuale poissoniana in quanto:

se: il numero di successi entro un predeterminato intervallo di tempo è distribuito come una Poissoniana (con parametro $λ$ ),
allora: l'intervallo di tempo intercorrente tra due successi è distribuito come una Esponenziale Negativa con parametro $λ$ ;

e viceversa. Questo risultato definisce un processo stocastico Poissoniano.

[modifica] v.c. Esponenziale e Weibull

Se X è una variabile casuale di Weibull: $X \sim \mathrm{Weibull}(\gamma = 1, \lambda^{-1})$ allora $X \sim \mathrm{Exponential}(\lambda)$ è una v.c. Esponenziale Negativa

Se $X$ è una v.c. esponenziale con parametro $λ$ , allora la v.c. $Y := X^c ~(c>0)$ è una v.c. di Weibull con i parametri $α = λ$ e $β = 1 / c$ . Come dimostrazione si osservi la cumulata di Y:

$F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^c \le y) = P(X \le y^{1/c}) = 1 - e^{-\lambda \cdot y^{1/c}},~y > 0$ .

che è la cumulata della Weibull (cvd).

[modifica] Illustrazione

NB: Questo esempio è ripreso in quello portato per la v.c. Geometrica

In una provincia con 50mila donne in età fertile, nascono 1000 bambini all'anno. Ci si deve aspettare che mediamente in un comune con 5mila donne in età fertile nascano annualmente 100 bambini (a volte di più, a volte di meno). Pertanto ci si aspetta che nascano 100/365=0,274 bambini al giorno (ovviamente ne nascono o zero o uno o due o... e mai quarti e quartini!)

Domanda: quanto tempo passa tra la nascita di un bambino e l'altro?

Il problema ci dice che il numero di bambini nati in un giorno si distribuisce come la variabile casuale poissoniana con λ=0,274 (si veda a tal proposito la relazione che lega la poissoniana alla binomiale).

Il teorema sopra indicato ci dice che possiamo usare la esponenziale negativa, con a=λ=0,274 ovvero

f(x) = 0,274 · e^{-0,274 x}

e che mediamente passano μ=1/a=1/0,274=3,65 giorni tra una nascita e l'altra (=365 giorni / 100 nati). L'integrale è:

F(y) = ₀∫^yf(x) dx = 1 - e^{-0,274 y}

per F(y)=0,95 si ottiene y=-ln(1-0,95)/0,274=10,9 , vale a dire che nel 95% dei casi, dopo la nascita di un bambino il riposo per l'equipe ostetrica non supera i 10,9 giorni (si veda pure l'esempio molto simile fatto per la v.c. Geometrica)

Ma, ponendo y=1, solo nel 23,9% dei casi la pausa è inferiore alle 24 ore: F(1)=0,23967.

In pratica questa equipe ostetrica che opera unicamente nel comune con 5000 donne fertili, in un anno fa circa 5 pause da 11 giorni o più, e circa 24 volte l'anno si rimette a lavoro entro le 24 ore.