アローの不可能性定理

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アローの不可能性定理（あろーのふかのうせいていり英：Arrow's impossibility theorem或いは単にArrow's theorem）とは、経済学者ケネス・アローが彼の博士論文、"Social choice and individual values"（『社会的選択と個人的評価』）で明らかにした定理であり、アローの（一般）可能性定理、または単にアローの定理と呼ばれる。選択肢が３つ以上あるとき、定義域の非限定性、全会一致性、無関係な選択対象からの独立性、非独裁性をすべて満たす「社会的厚生関数」を作ることはできない、とする。この場合の社会的厚生関数とは一般に考えられているバーグソン‐サミュエルソン型のものとは異なり、個人の選好関係から反射性・完備性・推移性を満たす合理的な社会全体の選好を導くものである。これは18世紀以来知られていた投票のパラドックス、もしくはコンドルセのパラドックスと呼ばれるものを数学的に証明したものとも言える。

[編集] 概要

まず、アローは社会の構成員全員の選好関係を変数として、次の3つの公理を満たす社会的選好関係≧（好き嫌いを表す。数字の不等号でないことに注意）を作り出す関数を考え、それを社会的厚生関数(英:social welfare function)と呼んだ。

反射性

任意の選択肢xに関し常にx≧xが成立する。ただしこれはあまりに自明なので、言及されない場合もある。

完備性

任意の２つの選択肢x、yに対し、常にx≧yもしくはy≧xが成立する。すなわち選好はどちらかが優先する（x>y、y>x）か同程度か（x=y、これを無差別という）かのいずれかである。

推移性

任意の３つの選択肢x、y、zに対し、x≧y、y≧zならばx≧zである。

選好関係≧がこの3つの公理を満たすならば、選択肢が何個あろうともそれが有限個である限り、最も良い選択肢（１個とは限らない）を選ぶことができる。つまり、その選好関係は「決定性」を有する。

次にアローは、「民主制」にとってさらに下記の4条件が不可欠であるとした。

社会を構成するそれぞれの個人の選好は連結律と推移律を満たす限り自由である（定義域の非限定性、普遍性）
社会の全員の選好が「xはyよりも良い」とした場合、社会的選好も「xはyよりも良い」となる（全会一致性、パレート原則）
任意のxとyの社会的選好が、その他の選択肢zに関する個人的選好の変化によって左右されない（無関係な選択対象からの独立性）
すべての選択肢に対する社会的選好が、構成員の中の特定の個人の選好と一致することはあってはならない（非独裁性）

そして、上述した前提としての決定に関する3つの公理と民主制のための4つの条件をすべて満たす関数は、3つ以上の選択肢があるとき存在しないことを発見した。すなわち社会的選択のための前提となる3つの公理と民主的決定のための4条件とは互いに相容れず、矛盾することを示した。これを、アロー自身は「一般可能性定理」と呼んだ。しかしこの定理のもつ含意から、「アローの不可能性定理」と呼ばれるのが一般的となった。

このことは、決定性と民主主義の両立が困難であることを示唆している。